Enunciado

5.50. Determine the y-coordinate of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Vamos achar outro centroide, mas agora é só para o eixo y .

Beleza, vamos fragmentar o problema em duas figuras mais fáceis de resolver

Olha só, temos duas figuras aqui, um triângulo, que é a parte azul da figura, e em cima desse triângulo temos a parte de um círculo. Bom, a gente sabe que uma linha reta tem 180 ° , então a parte do círculo tem 60 ° , e como um círculo completo tem 360 ° , essa parte do círculo tem 1 6 da área de um círculo completo.

Mas atenção, a fração de círculo não está na figura original, então tudo que fizermos em relação a ele será negativo.

Passo 2

Vamos começar com o triângulo. A área do triângulo é

A T = 1 2 b h

A gente conhece o valor de h , agora o valor de b a gente ainda não sabe, mas não vai ser complicado calcular esse valor. Olha só, se cortamos o triângulo exatamente no eixo y vamos ter um triângulo retângulo de cada lado, e esses triângulos vão ter os catetos h e b 2 .

Então podemos ver que

h tan ⁡ 30 ° = b 2

Logo

b = 2   h tan ⁡ 30 °

Então a área do triângulo é

A T = 1 2   h 2   h tan ⁡ 30 ° = 3 3 h 2

Agora vamos calcular o centroide de y nesse triangulo.

y - T = 1 - 1 3 h = 2 3 h

Passo 3

É hora de focar na parte de círculo. Bom, a área é 1 6 de um círculo completo como já vimos, então

A C = 1 6 π α 2

Onde α é o raio do círculo.

La no problema de exemplo 5/2, podemos ver que o centroide de uma fração de um círculo é

y - C = 2 3 α sin ⁡ θ θ  

Nesse caso θ = 60 ° 2 = 30 ° , ou seja θ = π 6 .

Então

y - C = 2 3 α sin ⁡ π 6 π 6  

Então

y - C = 4 α 1 2 π = 2 α π

Passo 4

Agora vamos calcular o centroide da figura toda.

y - = ∑ A y - ∑ A

Isso fica

y - = A T y - T - A C y - C A T - A C

Então

y - = 3 3 h 2 ⋅ 2 3 h - 1 6 π α 2 ⋅ 2 α π 3 3 h 2 - 1 6 π α 2

Vamos multiplicar em a fração por 18 18

y - = 4 h 3 h 2 - 6 a 3 6 3 h 2 - 3 π a 2

Agora vamos multiplicar por 3 3

y - = 12 h 3 - 6 3 a 3 18 h 2 - 3 3   π a 2

Agora podemos dividir em cima e em baixo a fração por 3

y - = 4 h 3 - 2 3 a 3 6 h 2 - 3   π a 2

E finalmente chegamos na resposta.

Resposta

y - = 4 h 3 - 2 3 a 3 6 h 2 - 3   π a 2

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Localize o centroide x - do setor circular.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centro de gravidade do volume. O material é homogêneo.