Enunciado

Um automóvel desgovernado deslocando-se a 100 km/h bate de frente com um sistema rodoviário de absorção de impacto (amortecedor) do tipo mostrado na figura, no qual o automóvel é levado ao repouso pelo esmagamento sucessivo de tambores de aço. A intensidade F da força necessária para esmagar os tambores é mostrada como uma função da distância x de deslocamento do automóvel dentro do amortecedor. Sabendo que a massa do automóvel é 1100 kg e desprezando o efeito do atrito, determine (a) a distância que o automóvel percorrerá dentro do amortecedor antes de atingir o repouso e (b) a desaceleração máxima do automóvel.

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão!

Mas, não é por isto que não devemos identificar as forças do nosso problema e construir um diagrama de corpo livre. Portanto, este é o nosso primeiro passo (e até o mais importante!).

Então, fazendo o diagrama de corpo livre, temos,

Passo 2

Agora, precisamos montar as nossas equações para que possamos resolver a letra a) e a letra b). Para isto, ao observamos o diagrama de corpo livre, percebemos que é apenas a força F que realizará trabalho sobre o nosso carro.

Pelo princípio do trabalho e energia, temos que:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

Sendo T 1 e T 2 a energia cinética inicial e final, respectivamente. Elas são expressas por:

T 1 = m v 1 2 2 = 1100 ⋅ 100 3,6 2 2 = 424,4   k J

T 2 = m v 2 2 2 = 550 v 2 2

E assim chegamos à equação:

424,4 ⋅ 10 3 + U 1 → 2 = 550   v 2 2

Passo 3

Temos agora todas as informações necessárias para resolvermos e letra a). Aqui, queremos determinar a distância que o automóvel percorrerá dentro do amortecedor até o carro parar. Isto é, até a velocidade v 2 ser igual a zero! Então, temos:

424,4 ⋅ 10 3 + U 1 → 2 = 0

U 1 → 2 = - 424,4 ⋅ 10 3   J

Temos que descobrir qual a distância necessária para que a força F produza o trabalho U 1 → 2 .

Então, vamos começar analisando por etapas. Nos primeiros x 1 = 1,5   m , a força F é igual a 90 kN. Portanto, o trabalho total realizado pela força nesta região é:

U = - F Δ x = - 90 ⋅ 10 3 ⋅ 1,5 = - 135 ⋅ 10 3   J

Como U < U 1 → 2 , então, o carro não irá parar nesta região! Mas será se o mesmo ocorrerá na região entre 1,5 m e 4 m? Para que isto ocorra, é necessário que o trabalho nesta região seja igual a:

U ' = U 1 → 2 - U

U ' = - 424,4 ⋅ 10 3 + 135 ⋅ 10 3 = - 289,4 ⋅ 10 3   J

Dada a força F = 135   k N , a distância x 2 necessária para produzir o trabalho U ' é:

U ' = - F x 2

x 2 = 289,4 ⋅ 10 3 135 ⋅ 10 3 = 2,14   m

Opa! O carro precisa percorrer uma distância de 2,14 m dentro da segunda região (de forças F = 135   k N ). Só que esta região possui um comprimento total de 4 - 1,5 = 2,5   m . Logo, o carro conseguirá parar dentro desta região!

Para finalizarmos então a letra a), temos:

x = x 1 + x 2 = 3,64   m

Passo 4

E agora chegamos à parte mais fácil da questão! Precisamos determinar a desaceleração máxima do automóvel. Isto é, a intensidade da aceleração.

Pelo nosso diagrama de corpo livre vemos que o carro está submetido apenas a força F na direção x (a direção em que o carro irá frear). Portanto, temos:

F = m a

Como a força máxima é F = 135   k N , a aceleração máxima será:

- 135 ⋅ 10 3 = 1100 ⋅ a

a = - 122,7   m / s 2

E assim finalizamos a letra b).

Resposta

  1. x = 3,64   m

a = - 122,7   m / s 2

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