Enunciado

Um avião move-se ao longo de umna pista reta com uma aceleração descrita pelo gráfico. Se ele parte do repouso e precisa de uma velocidade de 90m/s para decolar, determine o comprimento de pista minimo necessário e o tempo t’ para a decolagem. Construa os gráficos v-t e s-t.

Passo 1

Partindo do intervalo de tempo de (0:10) s, podemos resolver a equação diferencial (1) para a obtenção da equação da velocidade no mesmo intervalo.

d v = a d t MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1)

∫ 0 v d v = ∫ 0 t 0.8 t d t

v = ( 0.4 t 2 ) m / s

Para t = 10s

v = 0.4 ( 1 0 2 ) = 40 m / s

Para o interval de

d v = a d t

∫ 40 v d v = ∫ 10 t 8 d t

Resolvendo a integrais em ambos os lados, teremos:

v = ( 8 t - 40 ) m / s MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2)

Passo 2

Utilizando a Eq.(2), podemos calcular o tempo em t = t ' na velocidade de 90 m/s

90 = 8 t ' - 40

t ' = 16.25 s

Passo 3

Utilizando a Eq.(3), podemos calcular a equação do espaço em cada intervalo de tempo, então:

Para

d s = v d t MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (3)

∫ 0 s d s = ∫ 0 t 0.4 t 2

s = ( 0.1333 t 3 ) s

Para s

s ( 10 ) = 0.1333 ( 1 0 3 ) = 133.33 m

A partir do mesmo método podemos calcular a equação do espaço para o intervalo (10:t’), então:

Para

d s = v d t

∫ 133.33 s d s = ∫ 10 t ( 8 t - 40 ) d t

Resolvendo as integrais, iremos obter:

s = ( 4 t 2 - 40 t + 133.33 ) m

Para s, o valor de será:

s ( 16.25 ) = 4 ( 16.25 ) 2 - 40 16.25 + 133.33 = 540 m

Resposta

Os gráficos v - t   e s - t estão dispostos a seguir:

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