Enunciado

Um veículo entra em uma seção de teste de uma estrada reta em s = 0 com uma velocidade de 40   k m / h . Em seguida sofre uma aceleração que varia com o deslocamento como mostrado na figura. Determine a velocidade v do veículo quando este passa pela posição s = 0,2   k m .

Passo 1

O enunciado já diz que a velocidade inicial é v 0 = 40 k m / h   ≅ 11,1   m / s , e pelo gráfico nós sabemos que o veículo se mantém com aceleração constante a = 0,8   m / s 2 enquanto se desloca por Δ s = 0,1   k m = 100   m .

Então, usando a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

v 2 = 11,1 2 + ( 2 ) ( 0,8 ) ( 100 )

v 2 = 283,21  

v ≅ 16,8   m / s

Onde v é a velocidade quando o deslocamento é s = 0,1   k m .

Passo 2

Beleza, agora precisamos descobrir qual é a velocidade quando s = 0,2   k m . Se concentre só no segundo trecho do gráfico!

Vamos usar a seguinte relação:

a = d v d t

E podemos usar a regra da cadeia para escrever:

a = d v d t = d v d s   . d s d t

Mas d s d t = v , então:

a = v d v d s

E separando as variáveis:

a   d s = v   d v

Integrando os dois lados:

∫ v   d v = ∫ a   d s

Passo 3

A integral da esquerda dá o seguinte resultado:

∫ v   d v = 1 2 ( v 2 - v 0 2 )

E como estamos analisando o intervalo entre s = 0,1   k m e s = 0,2   k m , a velocidade inicial é a que calculamos ali em cima:

v 0 = 16,8   m / s

E a integral da direita é simplesmente a área embaixo do gráfico nesse trecho (lembre de converter a distância para metros!):

∫ a   d s = 0,4 200 - 100 + 0,4 200 - 100 2

∫ a   d s = 60 m 2 s 2

E agora substituindo tudo na equação:

∫ v   d v = ∫ a   d s

1 2 ( v 2 - v 0 2 ) = 60

v 2 = 120 + 16,8 2 = 402,24

v = 20,1   m / s

Resposta

A velocidade do veículo nessa posição é v = 20,1   m / s .

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