Enunciado

A barra rígida ABC é suportada por duas barras elásticas, AD e BE, de seção transversal retangular uniforme de 37,5 × 6 m m e feitas de um aço doce considerado elastoplástico, com E = 200 G P a e σ e = 250 M P a . A intensidade da força Q aplicada em B é aumentada de zero a 260 K N . Sabendo que a = 0,640 m , determine.

(notas expert: a questão original possuía um erro no enunciado que não apresentava a carga que atuava na estrutura, impedindo assim a solução do problema, dessa maneira optou-se por um enunciado da versão mais recente tendo em vista que esse possui um sentido)

  1. O valor da tensão normal em cada barra elástica e.

Passo 1

Fala galera, temos um exercício um pouco fora dos padrões que estamos acostumados, mas nada que seja muito assustador, na verdade, ele vai seguir alguns princípios que já conhecemos e alguns princípios novos que vamos ver. Como nosso objetivo são as tensões, vamos precisar das forças, e para isso, precisamos do nosso diagrama de corpo livre, assim teremos que:

∑ M c = 0

0,640 Q - 0,640 P B E - 2,64 P A D = 0

0,640 ( Q - P B E ) - 2,64 P A D = 0

Porém, percebemos que temos um problema estáticamente indeterminado, porque temos duas incógnitas ( P B E   e   P A D ) e uma equação , ou seja, precisamos de uma relação de deformações, montando um pequeno diagrama de deformações, temos que:

Assim podemos dizer que:

δ A 2,64 = t g θ

δ B 0,64 = t g θ

Porém, lembre-se que consideremos deformações muito pequenas, ou seja, tão pequenas que podemos fazer a seguinte aproximação:

δ A 2,64 = θ

δ B 0,64 = θ

Assim as deformações são consideradas da seguinte maneira:

δ A = 2,64 θ

δ B = 0,64 θ

Passo 2

Conseguimos uma relação para deformação fazendo uma análise geométrica no passo anterior, mas também temos que lembrar que podemos determinar a nossa deformação pela seguinte equação:

δ = P L E A

Como nosso objetivo é determinar as forças e com essas forças determinar a tensão, podemos usar essa equação anterior para determinar a força, e depois dividir ela pela área da seção para obter a tensão, assim, teremos que:

δ A = P A D L A D E A

P A D = E A L A D δ A

Sabemos que:

E = 200   G P a = 200 × 10 9   P a

A = 37,5 × 6 = 225   m m 2 = 225 × 10 - 6 m 2

L A D = 1,7 m

δ A = 2,64 θ

P A D = 200 × 10 9   [ P a ] 225 × 10 - 6 [ m 2 ] 1,7 [ m ] 2,64 θ = 69,88 × 10 6 θ

E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.

σ A D = P A D A = 69,88 × 10 6 θ 225 × 10 - 6 = 310,6 × 10 9 θ

E tudo isso que fizemos na barra AD, poderemos fazer na barra BE, assim vamos ter que:

δ B = P B E L B E E A

P B E = E A L B E δ B

Sabemos que:

E = 200   G P a = 200 × 10 9   P a

A = 37,5 × 6 = 225   m m 2 = 225 × 10 - 6 m 2

L B E = 1,0 m

δ B = 0,64 θ

P B E = 200 × 10 9   [ P a ] 225 × 10 - 6 [ m 2 ] 1,0 [ m ] 0,64 θ = 28,8 × 10 6 θ

E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.

σ B E = P B E A = 28,8 × 10 6 θ 225 × 10 - 6 = 128 × 10 9 θ

Passo 3

Agora que já temos as forças e as tensões, podemos trazer de volta a nossa equação de equilíbrio, assim, teremos que:

0,640 ( Q - P B E ) - 2,64 P A D = 0

Isolando a carga Q atuante na nossa estrutura, teremos que:

Q = 2,64 P A D + 0,640 P B E 0,640

Q = 4,125 P A D + P B E

E como já sabemos quanto cada uma dessas forças valem, podemos substitui-las, assim vamos ter que:

Q = 4,125 ( 69,88 × 10 6 θ ) + 28,8 × 10 6 θ

Q = 317,06 × 10 6 θ

Agora vamos guardar essa fórmula porque já vamos usar ela, agora precisamos analisar as resistências das nossas barrinhas a partir das nossas tensões.

Passo 4

Sabemos que a tensão atuante na nossa barra AD é dada por:

σ A D = 310,6 × 10 9 θ

E sabemos que a máxima tensão que age nela é a tensão de escoamento, exatamente por estarmos em um estado elastoplástico, assim, podemos admitir que a máxima tensão que pode atuar na nossa barra AD é dada por:

σ e = 250 M P a = 250 × 10 6   P a

Se igualarmos os dois vamos ter o máximo ângulo para a barra AD, assim vamos ter que:

310,6 × 10 9 θ = 250 × 10 6

θ e A D = 804,89 × 10 - 6

Se temos o ângulo, temos exatamente a máxima carga que podemos aplicar na nossa estrutura antes que a nossa barra comece a entrar em escoamento, sendo nesse caso a barra AD, assim teremos que:

Q = 317,06 × 10 6 × 804,89 × 10 - 6 = 255,2 × 10 3 N = 255,2   k N

E perceba, como a carga aplicada na nossa estrutura foi de 260 K N , temos que a carga aplicada é maior que a carga que a nossa barra AD poderia suportar, logo ela entrou em escoamento, assim, a máxima tensão atuante na nossa barra AD é a tensão de escoamento, assim vamos ter que:

σ A D = 250   M P a

Como a nossa barra entrou em escoamento, para determinar a força nela, basta fazermos o seguinte:

P A D = σ A D A = 250 × 10 6 × 225 × 10 - 6 = 56250 N = 56,25   k N

E porque determinamos isso? Porque já que já sabemos a tensão na barra AD, podemos usar ela para determinar a nossa carga e substituir na equação de equilíbrio, assim, temos que:

Q = 4,125 P A D + P B E

Sabemos que:

Q = 260   k N

P A D = 56,25   k N

260 = 4,125 × 56,25 + P B E

P B E = 27,97   k N

E como temos a força na barra BE, podemos calcular a tensão nela pela equação:

σ B E = P B E A = 27,97 225 × 10 - 6   k N m 2 = 124311   K P a = 124,3   M P a

Resposta

σ A D = 250   M P a

σ B E = 124,3   M P a

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Para a treliça e carregamento indicado no Prob. 10.29, determinar a deflexão vertical do ponto C .
O membro cilíndrico A B , vazado e de paredes finas, tem uma seção transversal não-circular e espessura não uniforme. Usando a expressão τ dada na Eq. (3.53), da Sec. 3.13, e a expressão para densidad
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Cada um dos membros da treliça mostrada tem seção transversal uniforme de área A . Usando-se o método do trabalho e energia, determinar a deflexão vertical do ponto de aplicação da carga P .
Cada um dos membros da treliça mostrada é feita de aço e tem seção transversal de área igual a 400m m 2 . Usando-se E = 200G P a , determinar a deflexão no ponto D , provocada pela carga de 16N .