Enunciado

Cada um dos membros da treliça mostrada tem seção transversal uniforme de área A . Usando-se o método do trabalho e energia, determinar a deflexão vertical do ponto de aplicação da carga P .

Passo 1

Faaaala, galerinha! Prontos para uma questão de cálculo de deflexão através do método de energia?

O enunciado mostra uma figura com cinco membros da treliça ( A B , A C , A D , B D e C D ) e quer que a gente calcule a deflexão y B do ponto B produzida pela força P que é aplicada em B .

Como temos que usar o método da energia, vamos calcular y B a partir da equação que calcula a quantidade de energia U que é absorvida pela treliça, quando ela se deforma.

U = P y B 2       ⟹       y B = 2 U P

U é a energia total absorvida pela treliça. Logo, U é a soma das energias absorvidas por cada treliça. Isso é mostrado pela equação abaixo.

U = U A B + U A C + U A D + U B D + U C D

Para calcular cada uma dessas energia, vamos precisar calcular as forças aplicadas a cada um dos membros da treliça! A figura abaixo mostra as forças que são aplicadas a cada membro mais a força P . Atenção! Essas não são todas as forças que existem no problema. Elas são apenas as forças que entrarão no cálculas das energias mais a força P .

Para encontrar as energias de cada membro da treliça, usaremos a equação 10.14 que calcula a energia absorvida U n por uma barra de comprimento L n , quando ela sofre a ação de uma força axial F n .

U n = F n 2 L n 2 A E

Agora podemos começar os cálculos no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar as forças F A B , F A C , F A D , F B D e F C D , precisamos calcular as reações R A x e R A y da restrição do ponto A e a reação R C x do ponto C .

Para fazer esses cálculos, vamos usar o diagrama de corpo livre da treliça inteira abaixo.

Primeiro, vamos fazer o equilíbrio de forças na treliça inteira. Esse equilíbrio diz que a soma de todas as forças em y vale zero. Como a força P está apontando pra baixo, ela ganhará um sinal de menos na equação.

R A y - P = 0       ⟹       R A y = P

Agora, para encontrar a reação R C x , podemos fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A . Escolhemos o ponto A , porque, nesse ponto, a força de reação desconhecida R A x não tem braço de alavanca e não está presente na equação. Como o momento M P da força P faz a treliça girar no sentido horário, ela deve ganhar um sinal de menos na frente.

M R C x - M P = 0       ⟹       R C x l - 3 4 P l = 0       ⟹       R C x = 3 4 P

Por fim, podemos obter o valor da reação R A x , fazendo o equilíbrio de forças em x . Como a força R A x está apontando pra esquerda, ela deve ganhar um sinal de menos na frente.

R C x - R A x = 0       ⟹       3 4 P - R A x = 0       ⟹       R A x = 3 4 P

Pronto! Achamos todas as reações! Agora somos capazes de achar as forças F A B , F A C , F A D , F B D e F C D aplicadas nos membros da treliça.

Passo 3

Para calcular as forças F B D e F A B , vamos fazer o equilíbrio de forças em x e em y aplicadas ao ponto B . A figura abaixo ilustra as forças presentes em B .

Vamos começar calculando F B D através do equilíbrio de forças em y . Como a força P está pra baixo, ela ganha um sinal de menos na frente.

F B D - P = 0       ⟹       F B D = P

Agora podemos achar F A B pelo equilíbrio de forças em x .

F A B = 0

Conhecendo essas duas forças, podemos partir para o ponto C . Para achar F C D vamos fazer o equilíbrio de forças em x nesse ponto. Como F C D aponta pra esqueda, colocamos um sinal de menos na sua frente.

- F C D + R C x = 0       ⟹     - F C D + 3 4 P = 0       ⟹       F C D = 3 4 P

Com o equilíbrio em y das forças aplicadas em C , achamos F A C .

F A C = 0

A força que resta é a força F A D . Calculamos essa força através do equilíbrio em y das forças aplica no ponto D . Como as forças F B D e F A D sen ⁡ θ apontam pra baixo, elas devem ganhar um sinal de menos na frente.

- F B D - F A B sen ⁡ θ = 0       ⟹       - P - F A D sen ⁡ θ = 0       ⟹       F A D = - P sen ⁡ θ

sen ⁡ θ é obtido, calculando o comprimento do membro A D da treliça através do teorema de Pitágoras. sen ⁡ θ é o lado oposto L A C dividido pela hipotenusa L A D .

sen ⁡ θ = l 5 4 l       ⟹     sen ⁡ θ = 0,8

Substituindo na equação de F A B :

F A D = - P sen ⁡ θ       ⟹       F A D = - P 0,8       ⟹       F A D = - 1,25   P

Agora vamos partir para o cálculo da energia dos membros da treliça.

Passo 4

Para achar as energias U A B , U A C , U A D , U B D e U C D dos membros, usamos as forças que calculamos na equação de energia U n do passo 1.

U A B = F A B 2 L A B 2 A E       ⟹       U A B = 0 2 3 4 l 2 A E       ⟹       U A B = 0

U A C = F A C 2 L A C 2 A E       ⟹       U A C = 0 2 l 2 A E       ⟹       U A C = 0

U A D = F A D 2 L A D 2 A E       ⟹       U A D = - 1,25   P 2 5 4 l 2 A E       ⟹       U A D = 0 , 9765625 P l A E

U B D = F B D 2 L B D 2 A E       ⟹       U B D = P 2 l 2 A E       ⟹       U B D = 0 , 5 P l A E

U C D = F C D 2 L C D 2 A E       ⟹       U C D = 3 4 P 2 3 4 l 2 A E       ⟹       U C D = 0 , 2109375 P l A E

Com esse valores, podemos calcular U e y B no próximo passo.

Passo 5

Somando todas as energias de cada membro da treliça, achamos U .

U = U A B + U A C + U A D + U B D + U C D

U = 0 + 0 + 0 , 9765625 P l A E + 0,5 P l A E + 0 , 2109375 P l A E

U = 1 , 6875   P l A E

y B é encontrado a partir da fórmula que deduzimos no passo 1.

y B = 2 P U       ⟹       y B = 2 P 1 , 6875   P l A E       ⟹       y B = 3,375 l A E

Boooooa, meus queridos! Chegamos na resposta da questão!

Resposta

y B = 3,375 l A E

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