Enunciado

Cada um dos membros da treliça mostrada é feita de aço e tem seção transversal de área igual a 400   m m 2 . Usando-se E = 200   G P a , determinar a deflexão no ponto D , provocada pela carga de 16   N .

Passo 1

Oi, pessoas bonitas! Prontos para uma questão de cálculo de deflexão através do método de energia?

O enunciado mostra uma figura com 8 membros da treliça ( A B , A C , A D , B C , B E e C D , C E , D E ) e quer que a gente calcule a deflexão y D do ponto D produzida pela força P = 16   k N que é aplicada em D . Como temos que usar o método da energia, vamos calcular y D a partir da equação que calcula a quantidade de energia U que é absorvida pela treliça.

U = P y D 2       ⟹       y D = 2 U P

U é a energia total absorvida pela treliça. Logo, U é a soma das energias absorvidas por cada treliça. Isso é mostrado pela equação abaixo.

U = U A B + U A C + U A D + U B C + U B E + U C D + U C E + U D E

Para calcular cada uma dessas energia, vamos precisar calcular as forças aplicadas a cada um dos membros da treliça! A figura abaixo mostra as forças que são aplicadas a cada membro mais a força P . Atenção! Essas não são todas as forças que existem no problema. Elas são apenas as forças que entrarão no cálculas das energias mais a força P .

Para encontrar as energias de cada membro da treliça, usaremos a equação 10.14 que calcula a energia absorvida U n por uma barra de comprimento L n , quando ela sofre a ação de uma força axial F n .

U n = F n 2 L n 2 A E

Agora podemos começar os cálculos no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar as forças F A B , F A C , F A D , F B C , F B E , F C D , F C E e F D E precisamos calcular as reações R A x e R A y da restrição do ponto A e a reação R D x do ponto D .

Para fazer esses cálculos, vamos usar o diagrama de corpo livre da treliça inteira abaixo.

Primeiro, vamos fazer o equilíbrio de forças na treliça inteira. Esse equilíbrio diz que a soma de todas as forças em y vale zero. Como a força P está apontando pra baixo, ela ganhará um sinal de menos na equação.

R A y - P = 0       ⟹       R A y = P

Agora, para encontrar a reação R D x , podemos fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A . Escolhemos o ponto A , porque, nesse ponto, as força de reação desconhecida R A x não tem braço de alavanca e não está presente na equação.

M R D x = 0       ⟹       R D x × 0,8 = 0       ⟹       R D x = 0   N

Por fim, podemos obter o valor da reação R A x , fazendo o equilíbrio de forças em x .

R D x + R A x = 0       ⟹       0 + R A x = 0       ⟹       R A x = 0   N

Pronto! Achamos todas as reações! Agora somos capazes de achar as forças F A B , F A C , F A D , F B C , F B E , F C D , F C E e F D E aplicadas nos membros da treliça.

Passo 3

Para calcular as forças, vamos fazer o equilíbrio de forças em x e em y aplicadas aos pontos A , B , D e E . A figura abaixo ilustra as forças presentes em todos esses pontos.

Para fazer o equilíbrio de forças em y , precisamos lembrar que as forças que apontam pra baixo devem receber um sinal de menos na frente. De forma parecida, devemos por um sinal de menos na frente de forças que apontam para a esquerda nas equações de equilíbrio em x .

Abaixo veremos as equações de equilíbrio em x e y para cada ponto. No ponto D temos:

e m   x :       F D E + F C D c o s θ = 0       ⟹       F D E = - F C D cos ⁡ θ

e m   y :       F A D + F C D s e n θ - P = 0       ⟹       F A D = P - F C D s e n θ

No ponto A temos:

e m   x :       F A B + F A C c o s θ = 0       ⟹       F A B = - F A C cos ⁡ θ

e m   y :     R A y - F C D - F A C s e n θ = 0       ⟹       P - F C D - F A C s e n θ = 0       ⟹     P = F C D + F A C sen ⁡ θ

No ponto B :

e m   x :     - F A B - F B C c o s θ = 0       ⟹     - - F A C cos ⁡ θ - F B C c o s θ = 0       ⟹       F A C = F B C

e m   y :     - F B E - F B C s e n θ = 0       ⟹     F B E = - F B C sen ⁡ θ

No ponto E :

e m   x :   - F D E - F C E c o s θ = 0       ⟹     - - F C D cos ⁡ θ - F C E cos ⁡ θ = 0       ⟹       F C D = F C E

e m   y :     F B E + F C E s e n θ = 0     ⟹   - F B C sen ⁡ θ + F C E sen ⁡ θ = 0       ⟹     F B C = F C E = F A C = F C D

Lembrando que F C D é igual a F A C e substituindo esse fato na equação de equilíbrio em y do ponto A :

P = F C D + F A C sen ⁡ θ       ⟹       P = F A C + F A C sen ⁡ θ       ⟹       F A C = P 1 + sen ⁡ θ

Logo:

F B C = F C E = F C D = F A C = P 1 + sen ⁡ θ

Usando esse valor de F C D na equação de equilíbrio em x e em y do ponto D :

F D E = - F C D cos ⁡ θ       ⟹       F D E = - P cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ

F A D = P - F C D s e n θ       ⟹       F A D = P - P sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ       ⟹       F A D = P 1 - sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ

Usando a equação das forças em x no ponto B :

- F A B - F B C c o s θ = 0       ⟹       - F A B - P cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ = 0       ⟹       F A B = - P cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ

Por fim, usando a equação das forças em y do ponto E :

F B E + F C E s e n θ = 0       ⟹       F B E + P sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ = 0       ⟹       F B E = - P sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ

Conseguimos achar as fórmulas de todas as forças. No entanto, para achar o valor de cada força, precisamos calcular o valor de sen ⁡ θ e cos ⁡ θ .

Passo 4

Para achar sen ⁡ θ e cos ⁡ θ temos que calcular o valor do comprimento do ponto B ao D L B D pelo teorema de Pitágoras.

L B D = 1,5 2 + 0,8 2       ⟹       L B D = 1,7   m

sen ⁡ θ é igual ao lado oposto L A D dividido pela hipotenusa L B D . cos ⁡ θ é igual ao lado adjacente L D E dividido pela hipotenusa L B D .

sen ⁡ θ = L A D L B D       ⟹     sen ⁡ θ = 0,8 1,7       ⟹     sen ⁡ θ = 0,47059

cos ⁡ θ = L D E L B D       ⟹     cos ⁡ θ = 1,5 1,7       ⟹     cos ⁡ θ = 0 , 88235

Usando esses valores nas fórmulas das forças, achamos:

F B C = F C E = F C D = F A C = P 1 + sen ⁡ θ = 16 1 + 0,47059 = 10,88   k N

F D E = - P cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ       ⟹       F D E = - 16 × 0 , 88235 1 + 0,47059       ⟹       F D E = - 9,60   k N

F A D = P 1 - sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ       ⟹       F A D = 16 1 - 0,47059 1 + 0,47059       ⟹       F A D = 10,88   k N

F A B = - P cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ       ⟹       F A B = - 16 × 0 , 88235 1 + 0,47059       ⟹       F A B = - 9,60   k N

F B E = - P sen ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ       ⟹       F B E = - 16 × 0,47059 1 + 0,47059       ⟹       F B E = - 5 , 12   k N

Com esses dados somos capazes de calcular as energias de cada membro da treliça.

Passo 5

Para achar as energias U A B , U A C , U A D , U B C , U B E , U C D , U C E e U D E dos membros, usamos as forças que calculamos na equação de energia U n do passo 1. Antes de usar essa equação, precisamos perceber que os comprimentos L A C , L B C , L C D e L C E valem a metade de L B D .

L A C = L B C = L C D = L C E = L B D 2 = 1,7 2 = 0,85   m

Além disso, precisamos converter A de m m 2 pra m 2 multiplicando por 10 - 6 , converter E de G P a pra P a multiplicando por 10 9 e converter P de k N pra N multiplicando por 10 3 .

U A B = F A B 2 L A B 2 A E       ⟹       U A B = - 9,60 × 10 3 2 1,5 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A B = 0 , 864   J

U A C = F A C 2 L A C 2 A E       ⟹       U A C = 10,88 × 10 3 2 0,85 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A C = 0,629   J

U A D = F A D 2 L A D 2 A E       ⟹       U A D = 10,88 × 10 3 2 0,8 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A D = 0 , 591   J

U B C = F B C 2 L B C 2 A E       ⟹       U B C = 10,88 × 10 3 2 0,85 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B C = 0,629   J

U B E = F B E 2 L B E 2 A E       ⟹       U B E = - 5 , 12 × 10 3 2 0,8 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B E = 0 , 131   J

U C D = F C D 2 L C D 2 A E       ⟹       U C D = 10,88 × 10 3 2 0,85 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U C D = 0,629   J

U C E = F C E 2 L C E 2 A E       ⟹       U C E = 10,88 × 10 3 2 0,85 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U C E = 0,629   J

U D E = F D E 2 L D E 2 A E       ⟹       U D E = - 9,60 × 10 3 2 1,5 2 × 400 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U D E = 0 , 864   J

Com esse valores, podemos calcular U e y D no próximo passo.

Passo 6

Somando todas as energias de cada membro da treliça, achamos U .

U = U A B + U A C + U A D + U B C + U B E + U C D + U C E + U D E

U = 0 , 864   + 0,629 + 0 , 591 + 0,629 + 0 , 131 + 0,629 + 0,629 + 0 , 864

U = 4 , 966   J

y D é encontrado a partir da fórmula que deduzimos no passo 1.

y D = 2 P U       ⟹       y D = 2 16 × 10 3 4 , 966       ⟹       y D = 0,000621   m

Boooooa, meus queridos! Chegamos na resposta da questão!

Resposta

y D = 0,000621   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o método do trabalho e energia, determinar a declividade no ponto D , devida ao momento M 0 .
Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão no ponto D , devido à carga P .
Um bloco de peso W é colocado em contato com a superfície de uma viga, em um certo ponto D , e então é largado. Mostrar que a máxima deflexão resultante em D é duas vezes maior do que a deflexão devid
Usando o método do trabalho e energia, determinar a deflexão no ponto D , devido à carga P .
Um bloco de peso W é abandonado de uma altura h acima de uma viga horizontal A B , e choca-se com ela no ponto D . Pede-se:Mostrar que a máxima deflexão y m no ponto D pode ser expressa por y m = y e