Enunciado

A barra rígida é apoiada pelos dois postes curtos de pinho branco e uma mola. Se o comprimento dos postes quando não carregados for 1   m e a área de seção transversal for 600   mm 2 e a mola tiver rigidez k = 2   MN/m e comprimento 1,02   m quando não deformada, determine a força em cada poste após a aplicação da carga à barra.

Passo 1

Fala! Vamos entender a situação.

Uma barra rígida tem como suporte dois postes de pinho branco (espruce branco) e uma mola. Um carregamento distribuído é colocado sobre a barra

Características dos postes em A e B :

  • Pinho branco (espruce branco): E = 9,65   GPa. (Tabelado)
  • Área: 600   mm 2 .
  • Comprimento inicial: 1   m .

Características da mola:

  • Rigidez: k = 2   MN/m .
  • Comprimento quando livre: 1,02   m

O carregamento de 50   kN/m é distribuído linearmente ao longo de 2   m sobre a barra.

É importante notar já de cara que o comprimento dos postes é menor que o comprimento livre da mola já antes do carregamento ser aplicado.

Isso significa que a mola já vai estar exercendo uma força por causa dessa compressão, além de outras deformações que podemos achar.

Queremos a força exercida em cada poste.

Passo 2

Estamos procurando por forças, então comecemos com o diagrama de corpo livre.

Há uma simetria do diagrama em relação a C . Fazendo o equilíbrio de momentos nesse ponto:

∑ M C = 0 → 1 F A + 1 ⋅ 50 =   1 F B + 1 ⋅ 50

F A = F B

Show! Agora o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F = 0 → 2 F A + F C = 2   m ⋅ 50   kN/m = 100   kN

A força F C é desenvolvida por uma mola de rigidez k . Se substituirmos a relação linear F = k δ de uma mola na última equação, chegamos em

2 F A + k δ C = 100   kN

Atenção que nessa equação a variável δ C significa a compressão total que a mola sofre em relação ao seu comprimento livre de 1,02   m , depois do carregamento.

Temos uma equação e duas incógnitas ( F A e δ C ). Precisamos de mais uma equação.

Passo 3

Primeiro temos que lembrar que a mola já começa comprimida 1,02 - 1 = 0,02   m desde o início do problema. Depois disso, como a barra é rígida e há simetria, ela não vai poder encurvar, fazendo ago assim:

Com isso, a compressão adicional da mola precisa ser igual ao deslocamento dos postes. Vamos escrever isso:

0,02 + δ A = δ C

Enfatizando: a compressão total δ C da mola é 0,02   m (antes do carregamento) mais o deslocamento δ A dos postes (deformação após carregamento).

Passo 4

A partir daqui é tudo fácil! Usamos a fórmula da relação carga-deslocamento para o poste!

δ A = F A   L A   E

0,02   m   + F A   L A   E = δ C

Substitua o que encontramos para δ C em 2 F A + k δ C = 100   kN para acabar

2 F A + k 0,02   + F A   L A   E = 100   kN

2 F A + 0,02 k + L   k A   E F A = 100   kN

2 F A + 0,02   m ⋅ 2   MN/m   + 1   m ⋅ 2   MN/m 600   mm 2 ⋅ 9,65   GPa F A   = 100   kN

2,3454 F A = 60   kN

F A = 25,58   kN

E como F A = F B :

F B = 25,58   kN

Resposta

Força nos postes em A e em B :   F A = F B = 25,58   kN .

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