Enunciado

A barra uniforme, de comprimento l e peso W , está apoaida na extremidade A por uma parede lisa e na extremidade B por uma corda de comprimento s , que é presa à parede como mostra a figura. Mostre que , para o equilíbrio, é necessário que h = s 2 - l 2 3 1 2 .

Passo 1

Em toda questão de mecânica geral nós sempre devemos desenhar o diagrama de corpo livre da situação para entendermos quais são as forças e componentes envolvidas. Para essa questão, temos o seguinte diagrama:

Passo 2

Galerinha, o valor da tensão na corda pode ser obtido diretamente da soma dos momentos em relação ao ponto A . Como estamos numa situação de equilíbrio, a soma dos momentos em relçaão ao ponto A tem que ser igual a zero. Assim, assumindo que o sentido anti-horário é positivo para o momento, temos:

∑ M A = 0

T s e n ϕ l - W s e n θ l 2 = 0

T = W s e n θ 2 s e n ϕ

Passo 3

Vamos ver o resultante vertical. Numa situação de equilíbrio, a soma de todas as forças que atuam na vertical tem que ser zero. Vamos assumir a direção para cima como positiva. Logo,

∑ F y = 0

W s e n θ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ - ϕ - W = 0

W s e n θ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ - ϕ = W

s e n θ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ - ϕ = 1

s e n θ cos ⁡ θ - ϕ = 2 s e n ϕ

Vamos agora relembrar um pouquinho de geometria plana! Vocês lembram lá da lei dos Senos?? Se temos um triângulo qualquer A B C , podemos escrever a seguinte relação:

a s e n A = b s e n B = c s e n C

Vamos olhar pra nossa situação agora. Nós temos um triângulo formado pela corba, pela barra e pela parede em que a barra está enconstada, não temos? Fica mais ou menos assim:

Aplicando a lei dos senos para esse triângulo, temos:

s s e n 180 - θ = h s e n ϕ

O seno de 180 - θ pode ser escrito como s e n θ . Assim,

s s e n θ = h s e n ϕ

s e n ϕ = h s s e n θ

Substituindo na expressão derivada do somatório de forças na vertical, temos:

cos ⁡ θ - ϕ = 2 h s

Passo 4

Se usarmos a lei dos cossenos no triângulo do nosso problema, teremos:

l 2 = h 2 + s 2 - 2 h s c o s θ - ϕ

cos ⁡ θ - ϕ = h 2 + s 2 - l 2 2 h s

2 h s =   h 2 + s 2 - l 2 2 h s

4 h 2 = h 2 + s 2 - l 2

3 h 2 = s 2 - l 2

h 2 = s 2 - l 2 3

h = s 2 - l 2 3 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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