Enunciado

Um elemento horizontal de peso desprezível é apoiado por duas molas, cada uma com rigidez k = 100   N / m . Se as molas estiverem inicialmente não esticadas e a força for vertical, conforme mostrado, determine o ângulo θ que o elemento forma com a horizontal, quando a força de 30   N é aplicada.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar o ângulo θ de inclinação da barra com a horizontal.

Para isto, será fundamental determinarmos a deformação de cada uma das molas na direção vertical, o que necessitará que calculemos as forças sobre cada uma das molas, visto que a deformação x é:

x = F k

Assim, é fundamental fazermos um diagrama de corpo livre identificando as forças aos quais estão submetidos!!! Então, o nosso diagrama de equilíbrio será:

Um ponto importante para esta questão é como a barra se movimenta em após a aplicação da F C = 30   N . Esta é uma força que faz com que a barra tenda descer. Já as molas tendem segurar a barra, mantendo-a elevada. Então é fácil ver que a barra irá rotacionar no sentido horário.

Por causa disto, a nossa barra irá rotacionar em torno de um ponto D que fica entre a aplicação das forças das duas molas.

Agora que já identificamos todas as reações, basta lembrarmos das relações de equilíbrio

∑ F = 0 ∑ M = 0

Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar calculando a força F B . Para isto, temos que calcular o somatório do momento em relação ao ponto A , pois assim eliminamos a força F A , que ainda é uma incógnita da nossa equação.

Desta forma, temos:

∑ M R A = 0

F C ⋅ 3 ⋅ cos ⁡ θ - F B ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ θ = 0

F B = 3 F C 2

F = 45   N

E assim encontramos a nossa primeira força!

Passo 3

Para determinarmos a força F A na outra mola, basta fazermos o somatório de forças na direção vertical. Desta forma, temos:

∑ F y = 0

F B - F C - F A = 0

F A = F B - F C

F A = 15   N

E assim determinarmos as forças nas duas molas!

Passo 4

Para podermos determinar o ângulo de inclinação θ é necessário determinarmos a deformação de cada uma das molas. Aplicando a equação x = F / k para cada uma das molas, temos:

x A = F A k ⟹ x A = 15 100 = 0,15   m

x B = F B k ⟹ x B = 45 100 = 0,45   m

Com a informação da deformação podemos calcular aonde está o ponto D . Isto é, a distância d do nosso diagrama de equilíbrio. Pela relação geométrica, temos:

sen ⁡ θ = x B d = x A 2 - d

0 , 4 5 d = 0 , 1 5 2 - d

d = 1 , 5   m

E então, o nosso ângulo θ é:

θ = arcsen ⁡ 0,15 0,5 = 17,5 °

E assim finalizamos a questão!

Resposta

θ = 17,5 °

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