Enunciado

O bloco de 12 kg é apoiado pelas duas barras de 5kg com duas molas de torção, cada uma de constante K = 500 Nm/rad, dispostas como apresentado. As molas são suficientemente rígidas de modo que o equilíbrio estável é verificado na posição mostrada. Determine a frequência natural f n para pequenas oscilações em torno dessa posição de equilíbrio.

Passo 1

Bom pessoal, como as barras possuem o mesmo tamanho, estão na vertical e possuem a mesma mola de apoio, então o bloco m 1 = 12 k g não possui rotação, apenas translação. Já as barras m 2 = 5 k g possuem apenas rotação. Podemos então escrever a equação da energia cinética da seguinte forma:

T = 2 1 2 I θ ˙ 2 + 1 2 m 1 l θ ˙ 2

Um detalhe importante: As barras giram em torno das molas, e não em torno do seu centro de massa. Então, o momento de inércia pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos:

I = I G + m d 2 = 1 12 m 2 l 2 + m 2 l 2 2 = 1 3 m 2 l 2

Substituindo na equação:

T = 2 1 2 1 3 m 2 l 2 θ ˙ 2 + 1 2 m 1 l θ ˙ 2

T = l 2 θ ˙ 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1             ( 1 )  

Passo 2

Agora vamos para a parte de energia potencial.

A energia potencial do sistema é igual soma das variações da energia potencial elástica e da gravitacional.

Vamos primeiro analisar a energia potencial gravitacional, com a ajuda da figura abaixo, representando uma das barras:

Quando a barra se desloca um ângulo θ para a direita, o centro de massa da massa desce l 2 ( 1 - c o s θ ) . Por estar localizado no final da barra, por proporção, o bloco vai descer duas vezes esta altura l ( 1 - c o s θ ) . Importante não esquecer que como as massas estão perdendo altura, sua energia é negativa.

Bom, já a energia potencial elástica é simplesmente dada pelo deslocamento θ , lembrando sempre que são 2 barras.

Podemos então escrever a equação da energia potencial:

V = 2 1 2 k θ 2 - m 1 g l 1 - c o s θ - 2 m 2 g l 2   1 - c o s θ

V = k θ 2 - m 1 + m 2 g l 1 - c o s θ             ( 2 )

Agora, vamos voltar para a equação de energia do sistema. Basta juntar as equações (1) e (2):

E = T + V

E = l 2 θ ˙ 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1 + k θ 2 - m 1 + m 2 g l 1 - c o s θ

Como o sistema é conservativo, d E d t = 0 (Não esquecer a regra da cadeira):

d E d t = l 2 θ ˙ 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1 + k θ 2 - m 1 + m 2 g l 1 - c o s θ = 0

2 l 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1 θ ˙ θ ¨ + 2 k θ θ ˙ - m 1 + m 2 g l θ ˙ s e n θ = 0

Para pequenos ângulos, usamos a aproximação s e n θ = θ :

2 l 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1 θ ¨ + 2 k θ - m 1 + m 2 g l θ = 0

Ajeitando a equação:

θ ¨ + 2 k - m 1 + m 2 g l 2 l 2 1 3 m 2 + 1 2 m 1 θ = 0

Substituindo os valores, temos que:

θ ¨ + 2 ( 500 ) - 12 + 5 ( 9,81 ) ( 0,8 ) 2 ( 0,8 ) 2 1 3 5 + 1 2 12 θ = 0

θ ¨ + 88,31   θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = 88,31 = 9,4   r a d / s  

Podemos relacionar a frequência à velocidade angular:

ω n = 2 π f n

Substituindo na equação, temos que:

f n = 1 2 π 9,4 = 1,496   H z

Resposta

f n = 1,496   H z

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