Enunciado

10 . Os deslocamentos dos blocos vistos na Figura ( 14.10 ) em relação ao equilíbrio são x 1 e x 2 . A ) Mostre que a energia potencial do sistema pode ser escrita na forma V = 1 2 k x 1 2 + x 2 2 + 1 2 κ x 2 - x 1 2 . B ) Escreva a Lagrangeana do sistema. C ) Escreva as equações de Lagrange do sistema. D ) Supondo que o movimento do sistema seja da forma x 1 = x 1 σ cos ⁡ ω t ,   x 2 = x 2 σ cos ⁡ ω t , calcule as suas frequências naturais.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona a questão!

A energia potencial desse sistema é dada apenas pelas energias potências elásticas de cada mola. A energia potencial elástica é dada por:

V = 1 2 k x 2

Onde x é o quanto a mola se deslocou da posição de equilíbrio. Então vamos avaliar essa condição para cada mola e montar a energia potencial de cada uma e depois do sistema.

Para escrever a Lagrangeana temos que lembrar que:

L = T - V

A energia potencial já teremos do item ( A ) , então só teremos que a achar a energia cinética, de cada bloco.

Teremos que escrever a equação de Lagrange para as coordenadas generalizadas x 1 e x 2 , a equações são da seguinte forma:

d d t d L d q ˙ - d L d q = 0

Depois vamos analisar essas equações para encontrarmos as frequências naturais ω 1 e ω 2 .

Passo 2

Vamos montar a energia potencial.

Para a primeira mola (da esquerda para a direita), temos:

V 1 = 1 2 k x 1 2

Já que como x 1 é o deslocamento do bloco em relação a posição de equilíbrio da mola, então acaba sendo a deformação da mola.

A mesma coisa ocorre para a terceira mola, assim:

V 3 = 1 2 k x 2 2

Agora para a segunda mola, temos que notar que ela sofre deformação por meio dos seus dois extremos, por um lado ela sofre uma deformação x 2 e pelo outro ela sofre uma deformação de x 1 , então sua deformação total é:

x 2 - x 1

Assim sua energia potencial elástica é dada por:

V 2 = 1 2 κ x 2 - x 1 2

A energia potencial do sistema é dada por:

V = V 1 + V 2 + V 3

⇒ V = 1 2 k x 1 2 + 1 2 κ x 2 - x 1 2 + 1 2 k x 2 2

⇒ V = 1 2 k x 1 2 + x 2 2 + 1 2 κ x 2 - x 1 2

Passo 3

Agora vamos ver a energia cinética do sistema. Essa energia vai ser dada pela soma das energias cinéticas de cada bloco, assim:

T = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 2 2

Usando que:

v 1 = d x 1 d t = x ˙ 1

v 2 = d x 2 d t = x ˙ 2

Assim temos:

T = 1 2 m x ˙ 1 2 + 1 2 m x ˙ 2 2

⇒ T = 1 2 m ( x ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 )

Com isso, a nossa Lagrangeana fica da seguinte forma:

L = 1 2 m x ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 - 1 2 k x 1 2 + x 2 2 - 1 2 κ x 2 - x 1 2

Passo 4

Agora vamos escrever a equação de Lagrange para x 1 . Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.

d d t d L d x ˙ 1 - d L d x 1 = 0

Primeiro vamos calcular d L d x ˙ 1 , temos:

d L d x ˙ 1 = m x ˙ 1

Agora vamos calcular d d t d L d x ˙ 1 , então:

d d t d L d x ˙ 1 = m x ¨ 1

Agora por último d L d x 1 , temos:

d L d x 1 = - k x 1 + κ ( x 2 - x 1 )

Juntando tudo temos:

m x ¨ 1 + k x 1 - κ x 2 - x 1 = 0

⇒ m x ¨ 1 + k x 1 + κ x 1 - x 2 = 0

Passo 5

Agora vamos escrever a equação de Lagrange para x 2 . Vamos calcular da mesma forma que fizemos no passo anterior.

d d t d L d x ˙ 2 - d L d x 2 = 0

Primeiro vamos calcular d L d x ˙ 2 , temos:

d L d x ˙ 2 = m x ˙ 2

Agora vamos calcular d d t d L d x ˙ 2 , então:

d d t d L d x ˙ 2 = m x ¨ 2

Agora por último d L d x 2 , temos:

d L d x 2 = - k x 2 - κ ( x 2 - x 1 )

Juntando tudo temos:

m x ¨ 2 + k x 2 + κ x 2 - x 1 = 0

Passo 6

Agora temos que achar as frequências naturais, para isso vamos fazer o seguinte, vamos isolar x 1 na última equação que obtemos, então:

x 1 = m x ¨ 2 κ + k + κ κ x 2

Substituindo isso na primeira equação que encontramos, temos:

m x ¨ 1 + ( k + κ ) x 1 - κ x 2 = 0

⇒ m 2 κ x 2 4 + m k + κ κ x ¨ 2 + m ( k + κ ) κ x ¨ 2 + k + κ 2 κ x 2 - κ x 2 = 0

⇒ x 2 4 + k + κ m x ¨ 2 + k + κ m x ¨ 2 + k + κ 2 m 2 x 2 - κ 2 m 2 x 2 = 0

⇒ x 2 4 + 2 k + κ m x ¨ 2 + k 2 + 2 k κ m 2 x 2 = 0

Para resolver isso vamos usar o método do polinômio característico, então:

r 4 + 2 k + κ m r 2 + k 2 + 2 k κ m 2 = 0

Chamando:

b = 2 k + κ m

c = k 2 + 2 k κ m 2

Temos:

r 4 + b r 2 + c = 0

Fazendo d = r 2 , temos:

d 2 + b d 2 + c = 0

Que é uma equação de segundo grau.

Passo 7

Resolvendo a equação de segundo grau, temos:

d = - b ± b 2 - 4 c 2

Vamos substituir o que temos para b e c em cada raiz.

Primeiro:

d 1 = - b + b 2 - 4 c 2

= - 2 k + κ m + 2 k + κ m 2 - 4 k 2 + 2 k κ m 2 2

= - 2 k + κ m + 4 m 2 ( k 2 + 2 k κ + κ 2 ) - 4 k 2 + 2 k κ m 2 2

= - 2 k + κ m + 4 κ 2 m 2 2

= - 2 k + κ m + 2 κ m 2

Com isso temos que:

d 1 = - k m

Segundo, temos:

d 2 = - b - b 2 - 4 c 2

= - 2 k + κ m - 2 k + κ m 2 - 4 k 2 + 2 k κ m 2 2

= - 2 k + κ m - 4 m 2 ( k 2 + 2 k κ + κ 2 ) - 4 k 2 + 2 k κ m 2 2

= - 2 k + κ m - 4 κ 2 m 2 2

= - 2 k + κ m - 2 κ m 2

Com isso temos que:

d 2 = - k + 2 κ m

Agora, sabendo que:

d = r 2

⇒ r = ± d

Assim temos:

r 1 = - i k m

r 2 = i k m

r 3 = - i k + 2 κ m

r 4 = i k + 2 κ m

Do método dos polinômios característicos sabemos que o termo que multiplica i   nessas raízes são os argumentos dos cossenos da solução da equação e esse argumento é ω 1 e ω 2 , que são as frequências naturais, logo:

ω 1 = k m

ω 2 = k + 2 κ m

Resposta

A )

Demonstrado acima

B )

L = 1 2 m x ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 - 1 2 k x 1 2 + x 2 2 - 1 2 κ x 2 - x 1 2

C )

m x ¨ 1 + k x 1 + κ x 1 - x 2 = 0

m x ¨ 2 + k x 2 + κ x 2 - x 1 = 0

D )

ω 1 = k m

ω 2 = k + 2 κ m

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