Responde Aí

Enunciado

Um bloco de 6 kg está confinado a se mover ao longo da trajetória parabólica lisa. Uma mola ligada a ele restringe o movimento e, devido ao rolete-guia, sempre permanece horizontalmente à medida que o bloco desce. Se a mola tem uma rigidez de k = 10 N/m, e comprimento não deformado de 0,5 m, determine a força normal da trajetória no bloco no instante x = 1 m, quando o bloco tem uma velocidade de 4 m/s. Além disso, qual é a taxa de aumento da velocidade do bloco neste ponto? Despreze a massa do rolete e da mola.

Passo 1

Sabemos que a trajetória parábolica é conhecida e dada por:

y = 2 - 0,5 x 2

Além disso, temos os seguintes dados:

massa do bloco: M = 6 kg

rigidez da mola: k = 10 N/m

comprimento não deformado da mola: l 0 = 0,5 m

velocidade em x = 1 : v = 4   m/s

gravidade: g = 9,81   m/s2

Como a mola só varia de comprimento horizontalmente, em x = 1 m o comprimento final da mola será l = 1 m.

Analisando o enunciado, podemos ver que o problema envolve o movimento do corpo ao longo de uma trajetória curva conhecida. Quando temos este tipo de trajetória, é necessário traçar um novo eixo com as coordenadas normal e tangencial a fim de facilitar a resolução do problema. Assim, obtemos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = força peso

F s = força elástica

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Como o enunciado diz que a trajetória é lisa, assumimos que a Força de Atrito é nula ( F f =0).

Lembre-se que a aceleração normal a n aponta sempre para o sentido positivo do eixo n .

Sabemos que

W = M g

F s = k ∆ l

a n = v 2 ρ

a t = d v d t

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

O problema pede para encontrarmos o valor de N e d v d t .

Passo 2

Primeiramente, analisamos a geometria da situação.

Temos que

y = 2 - 0,5 x 2

d y d x = - x

d 2 y d x 2 = - 1

Logo, para x = 1 m

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 = 1 + - 1 2 3 2 - 1 = 2,8284   m

Passo 3

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Logo, para x = 1 m, temos

tan ⁡ θ = - x x = 1 = - 1

θ = - 45 °

Utilizaremos θ = 45 ° para desenvolver o restante do problema. O sinal de θ serve para mostrar apenas o sentido que o eixo girou em relação ao eixo de referência.

Passo 4

Agora, com os dados obtidos, utilizaremos as Equações de Movimento para encontrar a força e a taxa pedidas no enunciado.

Sabemos que

F s = k ∆ l = 10 1 - 0,5 = 5   N

a t = d v d t

ρ = 2,8284 m

a n = v 2 ρ = 4 2 2,8284   m / s 2

Aplicando a Equação do Movimento no sentido do eixo n , temos

∑ F n = m a n

W cos ⁡ 45 ° - N + F s cos ⁡ 45 ° = M a n

6 9,81 cos ⁡ 45 ° - N + 5 cos ⁡ 45 ° = 6 4 2 2,8284

N = 11,2   N

Aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

W sen ⁡ 45 ° - F s sen ⁡ 45 ° = M a t

6 9,81 sin ⁡ 45 ° - 5 sin ⁡ 45 ° = 6 a t

a t = 6,35   m / s 2

Resposta

N = 11,2   N

a t = 6,35   m / s 2

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