Enunciado

Um bloco de 3 kg está preso a um cabo e uma mola como mostrado na figura. A constante de mola é k = 1 . 400   N / m m e a tração no cabo é 15 N. Se o cabo é cortado, determine (a) o máximo deslocamento do bloco, (b) a máxima velocidade do bloco.

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão!

Mas, não é por isto que não devemos identificar as forças do nosso problema e construir um diagrama de corpo livre. Portanto, este é o nosso primeiro passo (e até o mais importante!).

Então, fazendo o diagrama de corpo livre, temos,

OBS: iremos assumir a origem do sistema de coordenadas no ponto em que a corda é rompida.

Passo 2

Agora é importante identificarmos quem é cada uma das nossas forças e qual é a deformação inicial (caso exista) da nossa mola!

Em relação as forças, para o nosso bloco temos a presença da força peso, W = m g = 3 ⋅ 9,81 = 29,43   N , a força de tração na corda T = 15   N e a força elástica F e l . Como inicialmente o bloco está em equilíbrio estático, temos:

∑ F y = 0

W - T - F e l = 0

F e l = W - T = 14,43   N

Pelo sinal da força, sabemos na verdade que a mola está comprimida. Para os próximos passos, é importante termos bastante cuidado com a unidade da constante k ! Ela é 1,4   N / m m ou 1400   N / m

Passo 3

Agora, podemos partir para o cálculo dos termos de trabalho e energia cinética. Quando temos y 1 = 0   m (ponto em que é cortado a corda), a velocidade do bloco é v 1 = 0   m / s . Já para um ponto y 2 qualquer, teremos v 2 . Assim, temos os seguintes termos de energia cinética:

T 1 = m v 1 2 2 = 0

T 2 = m v 2 2 2 = 1,5   v 2 2

Em relação aos trabalhos das forças, começando pela força peso, temos:

U 1 → 2 W = W Δ y = 29,43 y 2

Já para o trabalho da força elástica, ele será:

U 1 → 2 e l = 1 2 F e l , m í n + F e l . m á x Δ y

U 1 → 2 e l = 1 2 - 14,43 - 14,43 + k y 2 y 2

U 1 → 2 e l = - 14,43 y 2 - 700 y 2 2

Logo,

U 1 → 2 = U 1 → 2 W + U 1 → 2 e l = 15 y 2 - 700 y 2 2

Passo 4

Agora, para resolvermos a letra a), basta aplicarmos o princípio de trabalho e energia e avaliar o valor de y 2 quando v 2 = 0 (máxima deformação ocorre quando a velocidade é nula – mudará de sentido).

Desta forma,

T 1 + U 1 → 2 = T 2

15 y 2 - 700 y 2 2 = 1,5   v 2 2

15 y 2 - 700 y 2 2 = 0

Assim, chegamos ao valor de y 2 = 0,0214   m , o qual ocorre para baixo!

Passo 5

Já para a letra b), precisamos determinar a velocidade máxima do bloco. Esta velocidade será atingida quando o trabalho das forças U 1 → 2 for igual a zero (a aceleração no bloco será nula). Lá das disciplinas de cálculo aprendemos que isto irá ocorrer no ponto y m tal que:

d U 1 → 2 d y 2 = 15 - 1400 y 2

15 - 1400 y m = 0

y m = 0,0107   m

Como queremos a velocidade máxima, pelo princípio do trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

15 y m + 700 y m 2 = 1,5   v m 2

15 ⋅ 0,0107 - 700 ⋅ 0,0107 2 = 1,5 v m 2

v m = 0 , 23   m / s

E assim finalizamos a questão!

Resposta

  1. y m = 0,23   m / s

v m = 0,23   m / s

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