Enunciado

A bola de massa m é submetida a uma velocidade de v A = 3 g r na posição A. Quando ela chega a B , o cabo atinge o pino P, após o que a bola descreve uma trajetória circular menor. Determine a posição x de P de maneira que a bola seja capaz apenas de alcançar o ponto C.

Passo 1

Primeiramente, deve-se definir a equação da conservação de energia cinética e potencial gravitacional que rege o problema. De forma que :

E A + P A = E C + P C

1 2 m v A 2 + m g h A = 1 2 m v C 2 + m g h B (1)

Passo 2

A velocidade da v C , pode ser obtida ao se desenvolver (1), de modo que :

1 2 m 3 g r 2 + 0 = 1 2 m v C 2 + m g ( 2 r - x )

v C 2 = g ( 2 x - r ) (2)

Passo 3

No ponto C, a velocidade escalar da bola pode v C deve ser obtida por meio do somatório das forças que atuam nesse instante, considerando que a corda não encontra-se tensionada no fim do movimento. Portanto, têm-se que:

∑ F y = m a y   ∴     m g = m a y

m g = m v C 2 ρ

m g = m v C 2 r - x

v C 2 = g ( r - x ) (3)

Passo 4

Ao igualar (2) e (3), temos que:

g r - x = g ( 2 x - r )

x = 2 3 r

Resposta

De acordo com os passos 1,2,3, e 4 a posição que o pino P em relação a x para que a bola seja capaz de alcançar o ponto C será:

x = 2 3 r

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