Enunciado

Uma bola de 1   k g em A é suspensa por uma corda inextensível e tem velocidade inicial de 4,8     m / s . Se l = 0,6   m e x B = 0 , determine y B de modo que a bola entre no cesto.

Passo 1

Neste problema, é necessária uma atenção extra, pois estaremos trabalhando com dois momentos no movimento.

O primeiro momento corresponde ao que chamaremos de posição 1 , na qual a bola está inicialmente.

Sabemos que em um ponto do movimento o caminho da bola muda de circular para parabólico, pois o cabo ficará frouxo, nos dando um ponto de tensão nulo. A bola descreverá um movimento parabólico neste instante até o final quando entra no cesto.

Então vamos escrever as equações para o nosso sistema e calcular.

Temos que:

x 2 = l cos ⁡ θ

y 2 = l sen ⁡ θ

Onde l é o comprimento inicial da corda e θ é o ângulo entre a corda e a horizontal.

Aplicando a segunda lei de Newton, temos que:

Q + m g sen ⁡ θ = m a n

Q + m g sen ⁡ θ = m v 2 2 l

Onde a n indica a aceleração normal, v 2 a velocidade final da bola e Q a tensão. Como o cabo fica frouxo no ponto, consideramos que Q = 0 , logo:

0 + m g sen ⁡ θ = m v 2 2 l

v 2 2 = g l sen ⁡ θ

v 2 = g l sen ⁡ θ

Passo 2

Agora que encontramos a equação da velocidade no ponto, podemos aplicar o principio da conservação de energia com relação às duas posições.

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Temos que:

T 1 = 1 2 m v 0 2

Onde v 0 indica a velocidade inicial.

E:

V 1 = - m g l

Para a posição 2 , temos:

T 2 = 1 2 m v 2 2

E:

V 2 = m g l sen ⁡ θ

Passo 3

Relacionando as equações do passo anterior, temos:

1 2 m v 0 2 - m g l = 1 2 m v 2 2 - m g l sen ⁡ θ

Cortando os termos em comum, temos que:

v 0 2 - v 2 2 = 2 g l 1 + sen ⁡ θ

Mas descobrimos que v 2 2 = g l sen ⁡ θ . Portanto:

v 0 2 - g l sen ⁡ θ = 2 g l 1 + sen ⁡ θ

v 0 2 = g l 2 + 3 sen ⁡ θ

Logo:

sen ⁡ θ = 1 3 v 0 2 g l - 2

Agora é só substituir os dados do enunciado:

sen ⁡ θ = 1 3 4,8 2 9,81 ⋅ 0,6 - 2

sen ⁡ θ = 0,6381

θ = 39,65 °

Podemos encontrar também a velocidade na posição 2 .

v 2 = 9,81 ⋅ 0,6 sen ⁡ 39,65

v 2 = 1,938   m / s

Passo 4

Agora vamos trabalhar com a posição 2 , que é a posição em que se inicia o movimento parabólico, como a posição inicial e o momento em que a bola chega à cesta como o final.

Temos que:

v p x = - v 2 sen ⁡ θ

A distância horizontal entre a cesta e o ponto de suspensão da bola é:

x B = x 2 - v 2 sen ⁡ θ t B - t 2

Onde t B é o tempo que a bola leva para chegar ao ponto B e t 2 é o tempo que a bola leva para chegar ao ponto 2 .

x B = l cos ⁡ θ - v 2 sen ⁡ θ t B - t 2

Substituindo os dados, temos que:

0 = 0,6 cos ⁡ 39,65 - 1,938 sen ⁡ 39,65 t B - t 2

t B - t 2 = 0,462 1,2366

t B - t 2 = 0,3736   s

Passo 5

Vamos realizar o mesmo procedimento para y B , temos que:

y B = y 2 + v 2 cos ⁡ θ t B - t 2 - 1 2 g t B - t 2 2

y B = l sen ⁡ θ + v 2 cos ⁡ θ t B - t 2 - 1 2 g t B - t 2 2

Substituindo os valores, teremos que:

y B = 0,6 sen ⁡ 39,65 + 1,938 cos ⁡ 39,65 0,3736 - 1 2 9,81 0,3736 2

y B = 0,383 + 0,5575 - 0,685

y B = 1,6255   m

Sendo este o valor y B pelo qual a bola entrará na cesta.

Resposta

y B = 1,6255   m

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