Enunciado

O braço A B gira na faixa 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° , e a mola não está esticada quando θ = 90 ° . Determine, em função de θ , o momento em torno de O causado pela força aplicada pela mola em B . Faça um gráfico das três componentes escalares de M O e calcule o valor máximo absoluto de cada componente.

Passo 1

Devemos obter o momento em torno de O causado pela força elástica aplicada no ponto B , e para isso precisamos do vetor posição de B e do vetor que representa a força elástica em B . Para achar a força elástica precisamos do seu módulo e do vetor unitário n B C que indica sua direção.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o vetor posição de B . Ele tem uma coordenada z fixa em z = 0,72 m, e percorre um círculo de raio 0,36 em com centro no ponto A que é projeção de O no plano z = 0,72 . Podemos então escrever o vetor posição de B dessa maneira:

r B = 0,36 cos ⁡ θ i + 0,36 sen ⁡ θ j + 0,72 k

Passo 3

Agora podemos achar o vetor r B C e seu vetor unitário n B C :

r B C = r C - r B = 0,36 j - ( 0,36 cos ⁡ θ i + 0,36 sen ⁡ θ j + 0,72 k )

= - 0,36 cos ⁡ θ i + 0,36 1 - sen ⁡ θ j - 0,72 k

r B C = r B C = 0,36 cos ⁡ θ 2 + 0,36 2 1 - sen ⁡ θ 2 + 0,72 2

= 0,36 cos 2 ⁡ θ + 1 - 2 sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + 4 = 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ

n B C = r B C r B C = - 0,36 cos ⁡ θ i + 0,36 1 - sen ⁡ θ j - 0,72 k 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ = - cos ⁡ θ i + 1 - sen ⁡ θ j - 2 k 6 - 2 sen ⁡ θ

Passo 4

Agora que já temos o vetor unitário que representa a direção e sentido da força, precisamos achar o módulo. O módulo da força elástica com uma deformação Δ l é F = k Δ l . O comprimento normal da mola é em θ = 90 ° quando a mola está vertical, e é igual a 0,72 m. O comprimento da mola em função de θ é dado por

r B C = r B C = 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ

Então a deformação é:

Δ l = 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ - 0,72 = 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ - 2

E então o módulo da força elástica será:

T = 2600 ⋅ 0,36 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 = 936 6 - 2 sen ⁡ θ - 2

Passo 5

Agora já temos o vetor da força:

T = T n B C = 936 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 ⋅ - cos ⁡ θ i + 1 - sen ⁡ θ j - 2 k 6 - 2 sen ⁡ θ

= 936 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ ( - cos ⁡ θ i + 1 - sen ⁡ θ j - 2 k )

E conseguimos calcular o momento causado em O :

M O = r B × T = 936 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ   0,36 cos ⁡ θ i + 0,36 sen ⁡ θ j + 0,72 k × ( - cos ⁡ θ i + 1 - sen ⁡ θ j - 2 k )

= 936 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ i j k 0,36 cos ⁡ θ 0,36 sen ⁡ θ 0,72 - cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ - 2

= 336,96 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ ( - 2 i + cos ⁡ θ k )

Passo 6

Agora mostramos os gráficos das componentes x e z de M O :

M x = - 673,92 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ

M y = 0

M z = 336,96 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ 6 - 2 sen ⁡ θ

Podemos perceber que os máximos dos módulos das componentes x e z ocorrem em 0 °

E 180 ° , onde temos M x = - 123,7   N ⋅ m e M y = 61,8   N ⋅ m

Resposta

M x = - 673,92 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 6 - 2 sen ⁡ θ

M y = 0

M z = 336,96 6 - 2 sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ 6 - 2 sen ⁡ θ

M x M á x = 123,7   N ⋅ m     e     M z M á x = 61,8   N ⋅ m   p a r a   0 °   e   180 °

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