Enunciado

Determine a componente projetada da força F a b = 560 N que atua ao longo do tubo A C . Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Falaa, aí! Queremos projetar a força F a b = 560 N no tubo e achar sua forma vetorial. Falou de projetar, cê lembra logo de produto escalar!

Como aqui a gente está em 3D, fica mais tranquilo usarmos formulação de vetor cartesiano, tá bem?

Então, a gente precisa escrever a força F a b como um vetor e o eixo que passa pelo tubo como vetor unitário e fazer o produto escalar entre eles.

Vem ver como fica!

Passo 2

Da figura do enunciado, vamos tirar as componentes da força. Pra isso, vamos seguir um passo-a-passo.

Primeiro, vamos achar um vetor unitário no sentido da nossa força. Como a gente faz isso?

Repara que ela está na direção do cabo que sai de A e vai para B . Um vetor nesse sentido seria

u → = B - A

Aí a gente acha as coordenadas desses pontos pela figura:

A = 0,3 , 0

B = - 1.5   , 0,1

E calcula o vetor:

u → = - 1.5   , 0,1 - 0,3 , 0

Mas lembra, a gente quer o vetor unitário, então, o próximo passo é dividir esse vetor que a gente achou pelo módulo dele:

u → a b = - 1,5 - 0 i + 0 - 3 j + 1 - 0 k - 1,5 - 0 2 + 0 - 3 2 + 1 - 0 2 =   - 3 7 i - 6 7 j + 2 7 k

Aí para achar o vetor da força de 360   N nessa direção é só a gente multiplicar esse vetor unitário que está na direção e sentido da nossa força pelo módulo da força:

F → a b = F a b ⋅ u → a b = - 240 i - 480 j + 160 k   N

Achamos um vetor!

Passo 3

Para achar o vetor na direção do tubo, vamos fazer basicamente a mesma coisa. Podemos dizer que nossa direção sai de A e vai para C .

Nosso vetor vai ser

v → = C - A

v → = 1.5,0 ,   3 - 0,3 , 0

Maas a gente quer o vetor unitário, então:

u → a c = 1,5 - 0 i + 0 - 3 j + 3 - 0 k 1,5 - 0 2 + 0 - 3 2 + 3 - 0 2 =   1 3 i - 2 3 j + 2 3 k

Passo 4

Agora que a gente tem o vetor da força e o vetor unitário na direção do tubo, a gente acha a intensidade da força projetada no tubo fazendo o produto escalar entre esses vetores:

F a b a c = F → a b ⋅ u → a c = - 240 i - 480 j + 160 k ⋅ 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k = 346,67   N

Isso é o módulo da projeção da nossa força ao longo da direção A C .

Para achar a forma vetorial dessa projeção, basta multiplicamos por um vetor unitário na direção. Nossa projeção da força está na direção do tubo, lembra?

Então nosso vetor unitário é aquele que a gente já tinha achado u → a c :

F a b a c → = F a b a c ⋅ u → a c = 346,67 ⋅ 1 3 i - 2 3 j + 2 3 k = 116 i - 231 j + 231 k   N  

Prontinho!

Resposta

F a b a c → = 116 i - 231 j + 231 k     N

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