Enunciado

O cabo O A é usado para suportar a coluna O B . Determine o ângulo ϕ que ele forma com a viga O D .

Passo 1

Para obter o ângulo desejado, é possível fazer a relação de produto escalar entre os vetores unitários de cada direção, O A e O D , ou seja, u O A e u O D . Tal produto escalar tem como valor resultante o cosseno do ângulo θ formado entre os dois segmentos envolvidos nesse produto escalar e, então, θ será determinado através da função trigonométrica inversa.

Passo 2

Logo, os vetores unitários serão:

u O A = 4 i + 8 j - 8 k 4 2 + 8 2 + - 8 2 = 4 i + 8 j - 8 k 12

u O A = 1 3 i + 2 3 j - 2 3 k

E:

u O D = - s e n 30 ° i + cos ⁡ 30 ° j = - 0,5 i + 0,866 j

Passo 3

Agora, fazendo o produto escalar entre esses dois vetores unitários nos dará o cosseno do ângulo a ser determinado:

cos ⁡ θ = u O C . u O A = - 0,5 i + 0,866 j . 1 3 i + 2 3 j - 2 3 k

cos ⁡ θ = - 0,5 1 3 + 0,866 2 3 - 2 3 0 = 0,4107

Passo 4

Logo, realizando a operação inversa do cosseno, tem-se que:

θ = cos - 1 ⁡ 0,4107 ∴ θ = 65,75 °

Resposta

θ = 65,75 °

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