Enunciado

Cada uma das duas hastes da estrutura soldada tem massa de 50   k g . Um arame desde C até D impede que a estrutura gire para fora do plano horizontal, em torno de um eixo que passa pelo mancal em B e pela rótula em A . Calcule a força trativa T no arame e o módulo da força total suportada pela rótula em A .

Passo 1

Vamos começar desenhando as forças que atuam no sistema:

Perceba que o suporte em B tem uma pequena liberdade para se deslocar ao longo do eixo y . Como o sistema está em equilíbrio nessa posição, isso permite concluir que B y = 0 .

Passo 2

Beleza, agora vamos escrever a força T → em forma vetorial. Precisaremos do vetor unitário na direção C D (veja o desenho):

C D ^ = - 1   i ^ - 1   j ^ + 2   k ^ 1 2 + 1 2 + 2 2 = 1 6 - i ^ - j ^ + 2 k ^

E então a força T → é simplesmente o vetor T C D ^ . Vamos usar alguma equação de equilíbrio que permita calcular T .

Se calcularmos o momento em relação ao eixo A B , todas as forças em A e em B terão momento nulo, e ficaremos apenas com a componente z da força T , P 1 e P 2 :

∑ M A B = 0

E todas as forças estão a 1 metro do eixo A B

:

∑ M A B = T z 1 - P 1 1 - P 2 1 = 0

T z = P 1 + P 2

T z = 2 50 9,81 = 981   N

Mas essa é apenas a componente z , podemos usá-la para calcular o valor de T :

T z = 2 T 6

T = 6 T z 2 = 1201   N

E isso já resolve o primeiro problema.

Passo 3

Agora queremos calcular o módulo da força suportada em A . Mais uma vez vamos ter que montar uma equação de equilíbrio bem pensada para poder resolver a questão.

Vamos escrever uma expressão para o momento em relação à linha que passa pela força B x :

Nesse casso, as forças A x , A y , T x e T y , B x e B z têm momento nulo, e então a expressão fica da seguinte forma:

∑ M B x = 0

∑ M B x = P 1 1 + P 2 3 - T z 1 - A z 4 = 0

A z = T z - P 1 - 3 P 2 - 4 = 245,2   N

E agora vamos fazer a mesma coisa para o momento na direção da força B z . Nesse caso sobram apenas as forças A x , T x e T y :

∑ M B z = 0

∑ M B z = A x 4 + T x 1 + T y 1 = 0

A x = - T x - T y 4 = - - T 6 - - T 6 4 = 245,1   N

Passo 4

E por último podemos usar a condição de equilíbrio das forças na direção do eixo y para encontrar A y :

∑ F y = 0

A y = T y

A y = 1201 1 6 = 490,3   N

E então já podemos calcular o módulo da força em A :

A = A x 2 + A y 2 + A z 2 = 245 2 + 245,2 2 + 490,3 2

A = 600   N

Resposta

A força trativa no arame é T = 1201   N e a suportada pela rótula é A = 600   N .

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