Enunciado

A caixa de 75 k g é sustentada pelos cabos A B , A C e A D . Determine a tração nesses cabos.

Passo 1

Para encontrar o valor da tração em cada cabo, o que deve ser feito primeiro é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas na tração, tal que:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x , y e z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Temos, ainda, que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de F E = 75 × 9,81 = 735,75 N .

Também é possível denotar as forças F A B e F A C na forma vetorial. Então, para o cabo A B :

F A B = F A B - 1,8 i + 0,9 j + 0,6 k - 1,8 2 + 0,9 2 + 0,6 2 = F A B - 1,8 i + 0,9 j + 0,6 k 2,1

⇒ F A B = F A B - 18 i + 9 j + 6 k 21 = F A B - 6 7 i + 3 7 j + 2 7 k

E para o cabo A C :

F A C = F A C - 1,8 i - 0,6 j + 0,9 k - 1,8 2 + - 0,6 2 + 0,9 2 = F A C - 1,8 i - 0,6 j + 0,9 k 2,1

⇒ F A C = F A C - 18 i - 6 j + 9 k 21 = F A C - 6 7 i - 2 7 j + 3 7 k

Passo 2

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no diagrama de corpo livre do enunciado, teremos para o eixo x :

∑ F x = 0

⇒ F A D - 6 7 F A B - 6 7 F A C = 0   ( 1 )

Da mesma forma, para o eixo y :

∑ F y = 0

⇒ 3 7 F A B - 2 7 F A C = 0   ( 2 )

E para o eixo z :

∑ F z = 0

⇒ 2 7 F A B + 3 7 F A C - F E = 0

2 7 F A B + 3 7 F A C - 75 × 9,81 = 0  

Ou seja:

2 7 F A B + 3 7 F A C = 735,75   ( 3 )

Passo 3

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar o sistema de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças:

F A D - 6 7 F A B - 6 7 F A C = 0 3 7 F A B - 2 7 F A C = 0 2 7 F A B + 3 7 F A C = 735,75

Então, somando a terceira equação com a segunda equação multiplicada por 3 / 2 :

3 2 3 7 F A B - 2 7 F A C = 3 2 0 2 7 F A B + 3 7 F A C = 735,75

Tal que:

9 14 F A B - 3 7 F A C = 0 2 7 F A B + 3 7 F A C = 735,75

Isso resulta:

F A B 9 14 + 2 7 = 735,75 → F A B 13 14 = 735,75

Ou seja:

F A B = 792,3   N

Passo 4

Usando esse valor na segunda equação:

3 7 792,3 - 2 7 F A C = 0 → 2 7 F A C = 339,6

Então, a tração no cabo A C é:

F A C = 1188,5   N

Passo 5

Por fim, só nos resta encontrar o valor da tração no cabo A D através da primeira equação. Logo, substituindo os valores da tração nos cabos A B e A C :

F A D - 6 7 792,3 - 6 7 1188,5 = 0

Portanto:

F A D = 1697,8   N

Resposta

F A B = 792 , 3   N

F A C = 1188,5   N

F A D = 1697,8   N

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