Enunciado

No projeto de uma atração de parque de diversões, os carros são ligados a braços de comprimento R que são articulados a um anel central rotativo que impulsiona o conjunto em torno do eixo vertical com uma velocidade angular constante ω = θ ˙ . Os carros sobem e descem a pista de acordo com a relação z = h / 2 1 - cos ⁡ 2 θ . Encontre as componentes R , θ e ϕ , da velocidade v de cada carro quando este passa pela posição θ = π / 4   r a d .

Passo 1

Vamos lembrar que as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são dadas assim:

v R = R ˙                     v θ = R θ ˙ cos ⁡ ϕ                     v ϕ = R ϕ ˙

Como o comprimento R dos braços é constante, temos:

R ˙ = 0

E então, obtemos:

v R = R ˙

v R = 0

Passo 2

Show! Agora, para o cálculo de v θ , já sabemos que:

θ ˙ = ω

Então, só falta achar cos ⁡ ϕ . Olhando pra figura, note que:

s e n   ϕ = z R

Porém, o enunciado nos deu uma expressão de z em função de θ :

z = h 2 1 - cos ⁡ 2 θ

Então, quando θ = π / 4   r a d , teremos:

z = h 2

s e n   ϕ = z R = h 2 R

Assim, obtemos cos ⁡ ϕ usando a relação fundamental da trigonometria:

cos ⁡ ϕ = 1 - s e n 2 ϕ = 1 - h 2 R 2

E portanto,

v θ = R θ ˙ cos ⁡ ϕ

v θ = R ω 1 - h 2 R 2

Passo 3

Por último, para calcular v ϕ , precisamos ainda achar ϕ ˙ , certo? Vamos utilizar as seguintes equações:

s e n   ϕ = z R                                         z = h 2 1 - cos ⁡ 2 θ

derivando-as:

ϕ ˙ cos ⁡ ϕ = z ˙ R                                         z ˙ = h θ ˙   s e n   2 θ

Então, obtemos:

ϕ ˙ = z ˙ R cos ⁡ ϕ = h θ ˙   s e n   2 θ R 1 - h 2 R 2 = h ω   s e n π 2 R 1 - h 2 R 2 = h ω R 1 1 - h 2 R 2

Portanto,

v ϕ = R ϕ ˙ = R h ω R 1 1 - h 2 R 2

v ϕ = h ω 1 - h 2 R 2

Resposta

v R = 0

v θ = R ω 1 - h 2 R 2

v ϕ = h ω 1 - h 2 R 2

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