Enunciado

O carrinho de mineração C é puxado pelo motor M através de um conjunto de cordas e polias. Determinar a velocidade do ponto P de tal maneira que a velocidade escalar de C seja v c = 2 m / s .

Passo 1

Este problema traz o conceito de polias e para resolvê-lo é importante ter em mente que existem duas cordas distintas no problema: A corda que segura a polia à parede e a corda que liga o carrinho ao motor.

Beleza, e como vamos resolver esse problema?

Vamos trabalhar em cima da velocidade da corda que liga o motor no carrinho c , lembrando que numa mesma corda a velocidade de todos os pontos é igual (em módulo) podendo variar a direção.

Uma forma bem simples de fazer isso é perceber que a corda está dobrada em três partes, todas conectadas à c , logo quando puxamos P com uma velocidade V essa velocidade será dividida por três porque a corda é inextensível.

Assim v p = 3 ⋅ v C .

Porém podemos fazer de uma maneira mais formal, como demonstrado abaixo.

Passo 2

Verificando apenas o conjunto de cordas e polias envolvidas no sistema, temos que:

Sabendo que a corda que segura a polia superior não influencia no movimento do carro por estar ali apenas para fixar a polia, ela pode ser considerada como um ponto fixo e descartada dos cálculos. Logo o comprimento total da corda será:

2 S c + S c - S p + S m = l

3 S c - S p + S m = l

Passo 3

Mas a gente não quer trabalhar com velocidade ao invés de comprimento? Então é só derivar essa equação em função do tempo, já que a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:

v = d s d t

Derivando a equação:

d 3 S c d t - d S p d t + d S m d t = d l d t

E olhando para essa derivada, vemos que S m será constante, afinal a posição do motor não vai se alterar, assim como o comprimento da corda l , como ela é inextensível, esse comprimento não varia.

Sendo assim, teremos:

3 v c - v p + 0 = 0

3 v c = v p

v p = 3 v c

Substituindo o valor de vc=2m/s

v p = 3 * 2

v p = 6 m / s

Resposta

Para que o carrinho C tenha uma velocidade escalar constante de 2m/s, o ponto P precisa se mover a uma velocidade 3 vezes maior, ou seja, 6m/s. O que implica que o motor M deve puxar a corda a uma velocidade de 6m/s.

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