Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 13.Problemas - Ex. 73

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desse livro

Um carro de 0,8 Mg desloca-se sobre um monte com o formato de uma parábola. Quando o carro está no ponto A , ele está se deslocando a 9 m/s e aumentando sua velocidade em 3m/s2. Determine a força normal resultante e a força de atrito resultante que todas as rodas do carro exercem sobre a estrada neste instante. Despreze a dimensão do carro.

Passo 1

Sabemos que o monte tem o formato de uma parábola conhecida, dada por:

y = 20 1 - x 2 6400

Além disso, temos os seguintes dados:

massa do carro: M = 0,8 Mg = 800   kg

velocidade em A : v A = 0,9   m/s

distância OA: x = 80 m

gravidade: g = 9,81   m/s2

Analisando o enunciado, podemos ver que o problema envolve o movimento do corpo ao longo de uma trajetória curva conhecida. Quando temos este tipo de trajetória, é necessário traçar um novo eixo com as coordenadas normais e tangenciais a fim de facilitar a resolução do problema. Assim, obtemos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = força peso

F f = força de atrito resultante

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Vimos que a velocidade aumenta 3m/s2, ou seja, a aceleração tangencial do carro é positiva e aponta no sentido positivo do eixo t .

a t = 3   m / s 2

Lembre-se que a aceleração normal a n deve apontar no sentido positivo do eixo normal n .

Sabemos que

W = M g

a n = v 2 ρ

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

Com isso, podemos iniciar nossa análise para obter F f e N .

Passo 2

Primeiramente, analisamos a geometria da situação.

Temos que

y = 20 1 - x 2 6400 = 20 - 0,003125 x 2

d y d x = - 0,00625 x

d 2 y d x 2 = - 0,00625

Logo, para x = 80 m

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 = 1 + - 0,00625 x 2 3 2 - 0,00625 x = 80 = 223,61   m

Passo 3

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Logo, para x = 80 m, temos

tan ⁡ θ = d y d x x = 80 = - 0,00625 80 = - 0,5

θ = atan ⁡ ( - , 05 ) = - 26,57 °

Utilizaremos θ = 26,57 ° para desenvolver o restante do problema. O sinal de θ serve para mostrar apenas o sentido que o eixo girou em relação ao eixo de referência.

Passo 4

Agora, com os dados obtidos, utilizaremos as Equações de Movimento para encontrar as forças pedidas no enunciado.

Sabemos que

a t = 3 m / s 2

ρ = 223,61   m

a n = v 2 ρ = 9 2 223,61   m / s 2

Logo, aplicando a Equação do Movimento no sentindo do eixo t , temos

∑ F t = m a t

W sen ⁡ 26,57 ° - F f = M a t

800 9,81 sen ⁡ 26,57 ° - F f = 800 3

F f = 1109,73   N

Aplicando a Equação do Movimento no sentido do eixo n , temos

∑ F n = m a n

W cos ⁡ 26,57 ° - N = M a n

800 9,81 cos ⁡ 26,57 ° - N = 800 9 2 223,61

N = 6729,67   N

Resposta

F f = 1109,73   N

N = 6729,67   N

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