Enunciado

Um carro de tração traseira está atolado na neve entre outros carros estacionados como mostrado. Em uma tentativa de livrar o carro, três estudantes exercem forças no carro nos pontos  A ,   B   e   C , enquanto a ação do motorista resulta em um empuxo de 200   N para a frente, atuando paralelo ao plano de rotação de cada roda traseira. Tratando este problema como bidimensional, determine o sistema força-binário equivalente no centro de massa  G  do carro e localize a posição  x  do ponto sobre a linha de centro do carro pelo qual passa a resultante. Despreze todas as forças não mostradas.

Passo 1

E aí meus queridos, tudo bem com vocês? Preparados pra mais uma questãozinha?

Prestem bastante atenção que essa questão é relativamente rapidinha, porém, precisa de um pouco da nossa atenção para que a gente não se perca no meio do caminho. Primeiramente, vamos escrever as três forças presentes na figura em forma vetorial, de modo que obtemos

F 1 → = 2 00 i     N F 2 → = 40 0 i   N F 3 → = 20 0 i   N F 4 → = 250 ⋅ ( s e n 30 ° i + cos ⁡ 30 ° j   N F 5 → = 350 j     N

Dessa forma, teremos como resultante a soma dessas três forças e será dada por

R → = F 1 → + F 2 →   + F 3 → + F 4 → + F 5 → = 2 00 + 400 + 200 + 125 i + 35 0 + 250 ⋅ 3 2 j

R → = 925 i + 566 j   N

Sem mudar o efeito que já tínhamos no problema, desejamos substituir essas três forças por um binário em A . Para isso, vamos ter além da força R → um binário em A que chamaremos de M a .

Passo 2

Beleza, agora que temos a força do nosso sistema força-binário precisamos achar o momento total das nossas forças no ponto G . Temos que as forças de 200 N favorecem a rotação do nosso carro em sentidos contrário, então, elas se anulam. Além disso, a linha de ação da força de 400 N e a componente vertical da força de 250 N passam pelo ponto G , logo, para o cálculo do momento elas não influenciarão em nada. Dessa forma, temos

M g = 250 ⋅ s e n 30 ° ⋅ 0,825 + 350 ⋅ 1,650 ≈ 681   N ⋅ m

Lembrando que o sinal de positivo indica pra nós que a rotação está no sentido anti-horário.

Passo 3

Por fim, para concluirmos nosso exercício precisamos encontrar a linha de ação da força resultante. A força R → tem que ser aplicada em um ponto que mantenha o momento total das forças sobre o sistema obedecendo a

M g → = r → × R →     i

Onde M g → é o vetor do momento das forças em relação a G e r → é o vetor posição do ponto onde a força R → será aplicada. Pela regra da mão direita como a rotação está no sentido horário, o vetor M G → aponta no sentido que sai no plano. Dessa forma, teremos

M g → = 681   k ^   N m

r → =   x   i ^ + y j ^

R → = 925 i ^ + 56 6 j ^   N

Fazendo o produto vetorial vamos ter

r → × R → = i j k x y 0 925 566 0 = 56 6 x - 925 y k ^  

Substituindo os valores em i vamos ter

681 = 566 x - 925 y → y = 0,612 x - 0,736

Por fim, para achar o ponto onde ela passa no eixo x basta que façamos a seguinte substituição simples

y = 0 → x = 0,737 0,612 ≈ 1,203 m

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

R → = 925   i + 566   j   N ,   M g = 681   N ⋅ m   a n t i - h o r á r i o ,

    a   f o r ç a   p a s s a   p e l a   l i n h a   d e   c e n t r o   d o   c a r r o   e m     x = 1,203 m

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