Enunciado

Por causa de uma combinação das condições de suporte do solo e da tensão no cabo de alimentação único, o poste desenvolveu a inclinação de 5 ° indicada. O poste uniforme de 9   m tem uma massa por unidade de comprimento de 25   k g / m , e a tensão no cabo de força é 900   N . Determine as reações na base O . Observe que o cabo de força encontra-se em um plano vertical paralelo ao plano x - z .

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as reações no apoio tipo engaste em O devido ao seu peso W e a tensão de 900   N do cabo de força. Primeiramente temos que encontrar a posição do ponto A indicado na figura e do centro de massa G . Uma vez que foram dados todos os ângulos necessários, podemos utilizar coordenadas esféricas para encontrar as coordendas x , y e z do ponto A e do ponto G de tal forma:

x = r sen ⁡ θ cos ⁡ φ

y = r sen ⁡ θ sen ⁡ φ

z = r cos ⁡ θ

Onde o ângulo entre o eixo z e o poste é θ = 5 ° e o ângulo entre o eixo x e a projeção do poste no plano x - y , é φ = 30 ° . Para o ponto A , temos r = 9   m , então:

x A = - 9 sen ⁡ 5 ° cos ⁡ 30 °

y A = - 9 sen ⁡ 5 ° sen ⁡ 30 °

z A = 9 cos ⁡ 5 °

E para o ponto G , r = 4,5   m :

x G = - 4,5 sen ⁡ 5 ° cos ⁡ 30 °

y G = - 4,5 sen ⁡ 5 ° sen ⁡ 30 °

z G = 4,5 cos ⁡ 5 °

Passo 2

Show! Agora vamos começar nossos cálculos de falo, pela condição de equilíbrio, temos que as reações no engaste devem anular as forças e os momentos que atuam no poste. Começando pela equação de equilíbrio de forças na direção x , temos:

∑ F x = 0

O x - 900 cos ⁡ 15 ° = 0

O x = 869,33   N

∑ F y = 0

O y = 0

∑ F z = 0

O z - 900 sen ⁡ 15 ° - W = 0

O z = 900 sen ⁡ 15 ° + 25 * 9 * 9,81

O z = 2440,19   N

Passo 3

Belezinha! A primeira parte já foi, certo? Como temos as coordenadas dos pontos de aplicação da tensão ( A ) e do peso ( G ) , basta fazermos o equilíbrio de momentos em torno de O , já que os momentos no engaste também devem anular os momentos produzidos pela tensão de 900   N e o peso W do poste. Então bora lá!

∑ M x = 0

M x - 25 * 9 * 9,81 - 4,5 sen ⁡ 5 ° sen ⁡ 30 ° - 900 sen ⁡ 15 ° - 9 sen ⁡ 5 ° sen ⁡ 30 ° = 0

M x = - 524,2   N m

∑ M y = 0

M y + 25 * 9 * 9,81 - 4,5 sen ⁡ 5 ° cos ⁡ 30 ° + 900 sen ⁡ 15 ° - 9 sen ⁡ 5 ° cos ⁡ 30 ° - 900 cos ⁡ 15 ° 9 cos ⁡ 5 ° = 0

M y = 8702,2   N m

∑ M z = 0

M z + 900 cos ⁡ 15 ° - 9 sen ⁡ 5 ° sen ⁡ 30 ° = 0

M z = 340,95   N m

Assim temos todas as reações de força e momento em O .

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

O x = 869   N

O y = 0

O z = 2440   N

M x = - 524   N m

M y = 8702   N m

M z = 341   N m

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