Enunciado

O centro de massa do braço O C de 10 kg está localizado em G e a mola com constante K = 2   k N / m não está esticada quando θ = 0 . Faça um gráfico do momento aplicado M necessário para o equilíbrio estático na faixa 0 ≤ θ ≤ 180 ° . Determine o valor de θ para o qual M = 0 (se existir) e os valores mínimo e máximo de M , com os valores correspondentes de θ para os quais esses valores extremos ocorrem. O movimento desse mecanismo ocorre em um plano vertical. Considere M positivo no sentido contrário aos ponteiros do relógio. O valor de m 2 é 3 kg.

Passo 1

O que temos que fazer é satisfazer a equação de equilíbrio para momento em torno de O atuando no braço O C . Isolando o braço num diagrama de corpo livre, temos o seguinte:

Precisamos da expressão da força elástica T → em função do ângulo θ e após isso fazemos a equação de equilíbrio.

Passo 2

O módulo da força eslástica é função da deformação da mola. Se a mola não esta esticada para θ = 0 , o tamanho da mola é :

l = O D - - O A - = 0,48 - 0,25 = 0,23   m

O tamanho da mola esticada será o tamanho do vetor r → A D , então devemos achar esse vetor e então encontrar o módulo. Olhando o desenho e com os tamanhos dados no enunciado, temos:

r → D = 0,48 i ^

r → A = 0,25 cos ⁡ θ i ^ - 0,25 sen ⁡ θ j ^

Então fazemos o vetor r → A D e seu módulo r A D :

r → A D = r → D - r → A = 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^

Vamos calcular o módulo do vetor:

r A D = 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ 2 + 0,25 sen ⁡ θ 2

= 0,2304 - 0,24 cos ⁡ θ + 0,0625 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )  

= 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ

O módulo da força elástica pode então ser calculado:

T = k Δ l = 2000 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23

Passo 3

Agora que temos o módulo da força, podemos calcular o vetor. A direção é a mesma de r → A D , então temos:

T → = T n → A D = T r → A D r A D

Onde n → A D é o vetor unitário na direção A D . Calculamos agora esse vetor unitário:

n → A D = r → A D r A D = 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^ 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ

Então:

T → = T n → A D = 2000 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 ⋅ 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^ 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ

⇒ T → = 2000 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^   N

Passo 4

Agora calculamos as forças devidas ao peso do braço em G e do peso de 3 kg em C :

P 1 = m 1 g = 10 9,8 = 98   N

P 2 = m 2 g = 3 9,8 = 29,4   N

Pronto, agora já temos todas as forças, basta fazermos o equilíbrio do momento em torno de O ser igual a zero para conseguirmos achar M .

Passo 5

Calculamos agora o momento causado por cada força em torno de O . Para P 1 e P 2 , que são verticais, apenas multiplicamos o módulo das forças pelo braço de alavanca (no caso a distância no eixo x entre a aplicação da força e O ).

M 1 = - P 1 O G - cos ⁡ θ = 98 0,15 cos ⁡ θ = - 14,7 cos ⁡ θ   N ⋅ m

M 2 = - P 2 O C - cos ⁡ θ = - 29,4 0,36 cos ⁡ θ = - 10,584 cos ⁡ θ   N ⋅ m

Os valores são negativos pois os momentos aplicados são no sentido horário. Agora para atração T → , calculamos o momento pelo produto vetorial:

M → 3 = r → O A × T →

O vetor r → O A é simplesmente o vetor posição de A e já foi calculado:

r → A = 0,25 cos ⁡ θ i ^ - 0,25 sen ⁡ θ j ^

Agora podemos fazer o cálculo de M → 3 . Vamos escrever T → como T n → A D para facilitar as contas:

M → 3 = r → A × T → = r → A × T n → A D = T ( r → A × n → A D )

= T 0,25 cos ⁡ θ i ^ - 0,25 sen ⁡ θ j ^ × 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^ 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ

= T 0,25 cos ⁡ θ i ^ - 0,25 sen ⁡ θ j ^ × 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ i ^ + 0,25 sen ⁡ θ j ^ 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ

= T 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ i ^ j ^ k ^ 0,25 cos ⁡ θ - 0,25 sen ⁡ θ 0 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ 0,25 sen ⁡ θ 0

Agora, resolvendo o determinante:

i ^ j ^ k ^ 0,25 cos ⁡ θ - 0,25 sen ⁡ θ 0 0,48 - 0,25 cos ⁡ θ 0,25 sen ⁡ θ 0 =

= 0,0625 sen ⁡ θ cos ⁡ θ k ^ + 0,12 sen ⁡ θ k ^ - 0,0625 sen ⁡ θ cos ⁡ θ k ^

= 0,12 sen ⁡ θ k ^

Então:

M → 3 = T 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ ⋅ 0,12 sen ⁡ θ k ^

⇒ M → 3 = 2000 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ ⋅ 0,12 sen ⁡ θ k ^

= 240 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ sen ⁡ θ k ^   N ⋅ m

Passo 6

Já temos todos os momentos em torno de O . Agora basta resolvermos nossa equação de equilíbrio:

M + M 1 + M 2 + M 3 = 0

⇒ M - 14,7 - 10,584 + 240 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

⇒ M = 25,284 - 240 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 7

O seguinte gráfico mostra M em função do ângulo θ , em graus, tal como o valor mínimo, o valor máximo, e os valores de θ para os quais M = 0 :

Resposta

M = 25,284 - 240 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ - 0,23 0,2929 - 0,24 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

M M á x = 25,284   N ⋅ m

M M í n = - 117,256   N ⋅ m

M = 0 ⇒ θ = 29,96 °   o u   θ = 171,14 °

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