Enunciado

Uma esfera de aço do raio de 5,0 cm está em repouso sobre dois anteparos inclinados como

mostra a parte esquerda da próxima figura. Com o conhecimento de que o peso específico do aço é 78.5   k N / m 3 . determine as forças que esses anteparos exercem sobre a esfera

Passo 1

A maior dificuldade dessa questão é identificar um sistema de coordenadas conveniente e quais são os ângulos envolvidos. Para isso, vamos escolher o sistema de eixos como mostrado na figura. Desse modo, a força que o anteparo 1 exerce sobre a esfera será F → 1 = - F 1   i ^ , pois essa força aponta no sentido negativo de x . Da mesma forma, a força que o anteparo 2 exerce sobre a esfera será F → 2 = - F 2   j ^ .

Passo 2

A esfera também sofre o efeito da força peso. Cada pequena seção da esfera sofrerá a ação da força peso, mas o efeito sobre toda a esfera é equivalente a ter uma força de módulo p , com origem no centro da esfera. Não sabemos qual a massa da esfera, mas sabemos seu peso específico (ou seja, seu peso por unidade de volume) e raio. Para obter o peso da esfera, basta multiplicar o peso específico pelo volume da esfera. Para tanto,, podemos utilizar a fórmula do volume de uma esfera de raio r , que é

V = 4 3   π   r 3

O raio da esfera é r = 5,0   c m , mas vamos converter esse valor para metros porque o peso específico é dado em k N / m 3 . Então, r = 0,05   m . Substituindo esse valor na fórmula do volume, obtemos

V = 4 3   π   r 3 = 4 3   ( 3,14 ) ( 0,05 m ) 3 ≈ 5,2 × 10   - 4   m 3

Logo, o peso da esfera é, em módulo

p =   78 , 5   k N / m 3 ⋅ 5,2 × 10   - 4   m 3 ≈ 0,041   k N = 41 N

No nosso sistema de coordenadas, a força peso tem componentes em x e y . Para calcular essas componentes, devemos descobrir o ângulo entre a força peso e x . Na segunda figura, vemos que esse ângulo é 30   ° . Assim,

p x = p   c o s 30   ° = 41 N ⋅ 0,866 ≈ 35,5 N

p y = p   s e n   30   ° = 41 N ⋅ 0,5 = 20,5 N

Passo 3

Agora que identificamos todas as forças, podemos usar as equações de equilíbrio e determinar F → 1 e F → 2 :

∑ F X = p x - F 1 = 35,5 N - F 1 = 0   ⇒   F 1 = 35,5 N

∑ F Y = p y - F 2 = 20,5 N - F 2 = 0   ⇒ F 2 = 20,5 N

Resposta

  F 1 = 35,5 N

F 2 = 20,5 N

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