Enunciado

Um cilindro circular de massa específica ρ 1 flutua em um líquido de massa específica ρ 2 . Se d é o diâmetro do cilindro e h é a altura submersa, faça o gráfico da razão r = h / d em função de ρ 1 / ρ 2 na faixa 0 ≤ ρ 1 / ρ 2 ≤ 1 . Avalie r para um cilindro de pinheiro flutuando na água do mar.

Passo 1

Vamos calcular a relação h / d utilizando o princípio da flutuabilidade. Segundo esse princípio, o peso do corpo flutuante deve ser igual ao peso do fluido deslocado por ele, ou seja, igual ao peso de um volume do líquido correspondente ao volume submerso do corpo. O peso do cilindro é:

P = m g = ρ 1 V g

O peso do líquido deslocado é:

P = ρ 2 V s u b g

Então:

⇒ ρ 1 V g = ρ 2 V s u b g

Onde V é o volume total do cilindro e V s u b é o volume submerso do corpo. Cortando g dos dois lados:

ρ 1 V = ρ 2 V s u b

Passo 2

Sabemos que se o cilindro tem comprimento L , o volume do cilindro em função de seu diâmetro d será:

V = π d 2 4 × L = π d 2 L 4

Como introduzimos esse valor de L que não é dado no enunciado, nossa resposta final não pode depender de L . Agora devemos calcular o volume submerso V s u b em função da profundidade h . O volume será a área preenchida pela água na face circular do cilindro vezes L :

V s u b = A L

A área preenchida pela água na face circular é mostrada na figura:

O ângulo θ da figura varia de 0 a π . A área da figura é a área de uma seção de ângulo 2 π - 2 θ , mais a área dos dois triângulos. Para calcular a área dos triângulos vamos descobrir o lado que falta:

Por Pitágoras:

a 2 + h - d 2 2 = d 2 2 ⇒ a 2 + h 2 - h d + d 2 4 = d 2 4

⇒ a 2 = h d - h 2 ⇒ a = h d - h

Então calculamos a área da figura. A área da seção é:

A S = 2 π - 2 θ 2 π π d 2 4   = π - θ d 2 4  

Com θ em radianos. A área dos triângulos é:

A T = 1 2 h - d 2 h d - h = 2 h - d 4 h d - h

A área total é então:

A = A S + 2 A T = π - θ d 2 4 + 2 × 2 h - d h d - h 4

= π - θ d 2 4 + ( 2 h - d ) h d - h 2

Perceba que a fórmula funciona também para θ > π / 2 , quando h < d / 2 , pois nesse caso a área da figura é a área da seção menos a área dos triângulos, o que acontece na fórmula pois o valor 2 h - d fica negativo.

Queremos A em função apenas de h e d , então devemos calcular θ em função desses parâmetros. Temos do triângulo:

cos ⁡ θ = h - d 2 d 2 = h - d 2 2 d = 2 h d - 1  

Então:

θ = arccos ⁡ 2 h d - 1

Essa função de fato se adequa ao nosso caso, pois θ = 0 quando h = d e θ = π quando h = 0 . Finalmente, a nossa expressão para V s u b é:

V s u b = A L = L π - θ d 2 4 + 2 h - d h d - h 2

= L d 2 4 π - arccos ⁡ 2 h d - 1 + 2 h - d h d - h 2

Passo 3

Agora voltamos à nossa expressão dada no Passo 1:

ρ 1 V = ρ 2 V s u b

Substituímos os valores de V e V s u b calculados no Passo 2:

ρ 1 ⋅ π d 2 L 4 = ρ 2 ⋅ L d 2 4 π - arccos ⁡ 2 h d - 1 + 2 h - d h d - h 2

Cortamos L dos dois lados:

π ρ 1 d 2 4 = ρ 2 d 2 4 π - arccos ⁡ 2 h d - 1 + 2 h - d h d - h 2

Agora vamos passar ρ 2 para a esquerda e π d 2 4 para a direita:

ρ 1 ρ 2 = 4 π d 2 d 2 4 π - arccos ⁡ 2 h d - 1 + 2 h - d h d - h 2

= 1 - 1 π arccos ⁡ 2 h d - 1 + 4 π d 2 ⋅ 2 h - d h d - h 2

= 1 - 1 π arccos ⁡ 2 h d - 1 + 2 π 2 h d - 1 h d - h 2 d 2    

E finalmente, substituindo h / d por r :

ρ 1 ρ 2 = 1 - 1 π arccos ⁡ 2 r - 1 + 2 π 2 r - 1 r 1 - r

Passo 4

Agora mostramos o gráfico de r = h / d por ρ 1 / ρ 2 :

Passo 5

Para o cilindro feito de pinheiro boiando na água do mar, vamos calcular r = h / d . Temos para o pinheiro uma densidade de 480   k g / m 3 e para a água do mar 1030   k g / m 3 . Então:

ρ 1 ρ 2 = 480 1030 = 0,466

Analisando o gráfico obtemos para ρ 1 / ρ 2 o valor:

r = 0,473

Resposta

ρ 1 ρ 2 = 1 - 1 π arccos ⁡ 2 r - 1 + 2 π 2 r - 1 r 1 - r

r = 0,473

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