Enunciado

O cilindro de massa M e raio R rola sem deslizar na superfície circular de raio 3R. Preso ao cilindro está um pequeno corpo de massa m. Determine a relação necessária entre M e m se o corpo deve ser estável na posição de equilíbrio mostrada.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a relação necessária entre M e m se o corpo deve ser estável na posição de equilíbrio mostrada.

Observe que não há forças externas agindo nem molas ligadas ao sistema, portanto, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ V = 0 δ V g = 0   (1)

Passo 2

Observe que a rotação total do cilindro é a, e que podemos escrever o comprimento do arco (AB) ̂ tanto como arco de círculo de raio 3R com ângulo θ, quanto como círculo de raio R com ângulo α

A B ^   = 3 R θ = R a α   = 3 θ

Em seguida, a partir do esboço, podemos ver que as alturas hM e hm são

h M = 3 R - 2 R c o s ⁡ θ h m = 3 R - ( 2 R c o s ⁡ θ - 0.75 R c o s ⁡ ( α - θ ) )

Podemos substituir α por 3θ para obter

h m = 3 R - ( 2 R c o s ⁡ θ - 0.75 R c o s ⁡ ( 2 θ ) )

Passo 3

Você pode notar que no cilindro esquerdo o centro de massa m está abaixo do centro de massa M, enquanto em nossa equação há um sinal -, porque nossa equação é escrita como função de θ, e para θ = 0 o centro de massa m é acima de M, o

o sinal se tornará + quando 2θ> 90°

Passo 4

Uma vez que temos duas massas aqui, podemos escrever a expressão para a energia potencial gravitacional como

V g = m g h m + M g h M V g = g m h m + M h M

substituiremos h m por 3 R - ( 2 R c o s ⁡ θ - 0.75 R c o s ⁡ ( 2 θ ) ) e h M by 3 R - 2 R c o s ⁡ θ

V g = g { m [ 3 R - ( 2 R c o s ⁡ θ - 0.75 R c o s ⁡ ( 2 θ ) ) ] + M [ 3 R - 2 R c o s ⁡ θ ] }

Derive ambos lados da equação para obter

δ V g = g [ 2 m R s i n ⁡ θ - 1.5 m R s i n ⁡ ( 2 θ ) + 2 M R s i n ⁡ θ ] δ V g = g R 2 sin ⁡ θ m + M - 1.5 m sin ⁡ 2 θ                                                               ( 2 )

Passo 5

A seguir, substituiremos δVg pela expressão (2) na equação de equilíbrio (1)

g R [ 2 s i n ⁡ θ ( m + M ) - 1.5 m s i n ⁡ ( 2 θ ) ) ] = 0

Observe que o sistema é estável quando a segunda derivada da equação de equilíbrio é maior que zero

g R [ ( 2 s i n ⁡ θ ( m + M ) - 1.5 m s i n ⁡ ( 2 θ ) ] } d V d θ > 0 g R ∣ 2 c o s ⁡ θ ( m + M ) - 3 m c o s ⁡ ( 2 θ ) ] > 0

Podemos dividir os dois lados da equação por gR

2 c o s ⁡ θ ( m + M ) - 3 m c o s ⁡ ( 2 θ ) > 0 (3)

Passo 6

Para verificar a estabilidade da posição θ = 0, vamos simplesmente colocar o valor de θ em (3)

cos ⁡ θ ⏞ - 1 ( m + M ) - 3 m c o s ⁡ ( 2 θ ) ⏞ - 1 > 0 2 ( m + M ) - 3 m > 0 2 M - m > 0 2 M > m

A partir daqui, podemos escrever a relação entre as massas M e m necessárias para garantir a estabilidade

M > m 2

Resposta

M > m 2

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