Enunciado

Um colar de 3 kg pode deslizar sem atrito sobre uma barra vertical e ficar em repouso equilibrando-se sobre uma mola. Ele é empurrado para baixo, comprimindo a mola 150 mm e é liberado. Sabendo que a constante da mola é k = 2,6 kN/m, determine (a) a altura máxima h alcançada pelo colar acima de sua posição de equilíbrio, (b) a velocidade máxima do colar.

Fonte: Beer – Dinâmica – 9ª ed

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Espero que sim! Bora falar de energia!!

Bem, vamos analisar o problema por conservação de energia.

Temos dois momentos para analisar:

  1. Quando o colar é empurrado pra baixo e a mola é comprimida em 150 mm e continua em repouso ( v 1 = 0 );
  2. No instante em que o colar atinge a altura máxima ( v 2 = 0 ).

Além de um instante 3, que é o equilíbrio do colar, onde a força da mola e o peso do colar possuem valores iguais.

Podemos analisar através de um pequeno esboço:

Podemos dizer também que x 1 é a deflexão que inclui o comprimento natural da mola e a distância de 150 mm que foi causada pela força inicial para baixo.

Assim, como no problema anterior, podemos assumir, pelo método de conservação de energia:

E C 1 + E E L 1 = E C 2 + E E l 2         ( 1 )

Passo 2

Letra a) Pronto, já temos nossa expressão principal. Agora vamos reescrevê-la de forma mais esmiuçada, sabendo já que as energias cinéticas nos pontos 1 e 2 são nulas:

k x 1 2 2 = m g 0,150 + h                   ( 2 )

Calma, vamos explicar o que foi feito!

Primeiro, vamos descobrir quem é x 1 :

Lembra que comentamos que no equilíbrio a força peso do colar se iguala à força elástica da mola? Pois é, podemos encontrar x 1 simplesmente por essa igualdade:

m g = k x 1 + 0,150   →       3 * 9,81 = 26 * 10 3 x 1 + 0,150                 → x 1 = 0,1613   m

Pronto, agora vamos entender o segundo termo da equação 2:

No instante 2, temos equilíbrio, certo??

Sim, temos. Ou seja, A força elástica atuante nesse instante se iguala à alguma “coisa”, e essa “coisa” é o peso do colar. Então podemos muito bem utilizar a energia potencial no momento 2 para analisarmos a conservação da energia.

Então vamos prosseguir, substituindo os valores da equação:

26 * 10 3 * 0,1613 ² 2 = 3 * 9,81 0,150 + h                         → h = 0,9995   m

Passo 3

Letra b) Se voltarmos para a figura referente ao problema, podemos imaginar e perceber que a velocidade máxima adquirida pelo colar se dá quando ele passa pelo ponto de equilíbrio (ponto 3 indicado no esboço), e a partir disso, podemos aplicar novamente a conservação da energia. Assim:

E C 1 + E E L 1 = E C 3 + E E l 3 + E P 3         ( 3 )

Observemos que no instante 3, temos energia potencial elástica e a causada pela força peso. Assim:

0 + k x 1 2 2 = m g 0,150 + h + 1 2 k x 1 - 0,150 2 + 1 2 3 * v m a x ²

Substituindo os valores:

26 * 10 3 * 0,1613 ² 2 = 3 * 9,81 0,150 + 0,9995 + 1 2 26 * 10 3 0,1613 - 0,150 2 + 1 2 3 * v m a x ²

Fazendo o cálculo, encontramos v m a x = 4,42 m s

Resposta

Portanto:

Letra a) h = 0,9995   m

Letra b) v m a x = 4,42 m s

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