Enunciado

Um componente de máquina é feito de um tipo de ferro fundido para o qual σ L T = 55,2   M P a e σ L C = 137,9   M P a . Para cada um dos estados de tensão indicados, e usando o critério de Mohr, determine a tensão normal σ 0 na qual se espera que haja a ruptura do componente.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar o critério de Mohr para materiais frágeis conforme visto na fig 7.38 nessa seção, onde temos o envoltório seguro, e se o ponto cair fora dele, quer dizer que temos ruptura. Para saber se o ponto está ou não dentro do envoltório, precisamos descobrir em qual quadrante o ponto se encontra. Lembrando que se ele cair no 4º quadrante, usaremos a seguinte relação:

σ a σ L T - σ b σ L C

Essa é a equação da reta no 4º quadrante da fig 7.38, em que σ a é a tensão em um extremo do círculo de Mohr (tensão máxima) e σ b é a tensão no outro extremo (tensão mínima). Então, se o valor encontrado nessa relação for maior que 1, quer dizer que o ponto está fora do envoltório e haverá ruptura, do contrário, a condição é segura.

Para calcular os σ , precisamos da tensão média e do raio do círculo de Mohr. Só que no nosso caso, vamos calcular isso em função da tensão σ 0 para depois igualar seu valor ao caso limite e descobrir a tensão na qual se espera que haja ruptura do componente. Então vamos nessa!

Passo 2

Para a letra (a), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

σ x = σ 0

σ y = σ 0 2

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

R = ( σ 0 ) - σ 0 2 2 2 + 0 2 → R = σ 0 4

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = σ 0 + σ 0 2 2 → σ m e d = 3 σ 0 4

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = 3 σ 0 4 + σ 0 4 → σ a = σ 0

σ b = σ m e d - R = 3 σ 0 4 - σ 0 4 → σ b = σ 0 2

Então, como os dois valores de σ são positivos, isso quer dizer que o ponto está no primeiro quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será a tensão limite de tração em σ a , ou seja:

σ a = σ L T → σ 0 = 55,2   M P a

Passo 3

Para a letra (b), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

σ x = σ 0

σ y = - σ 0 2

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

R = ( σ 0 ) - - σ 0 2 2 2 + 0 2 → R = 3 σ 0 4

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = σ 0 + - σ 0 2 2 → σ m e d = σ 0 4

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = σ 0 4 + 3 σ 0 4 → σ a = σ 0

σ b = σ m e d - R = σ 0 4 - 3 σ 0 4 → σ b = - σ 0 2

Então, como temos σ a positivo e σ b negativo, isso quer dizer que o ponto está no quarto quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será dado pela equação que vimos no passo 1:

σ a σ L T - σ b σ L C

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ 0 55,2 - - σ 0 2 137,9 = 1 → σ 0 1 55,2 + 1 275,8 = 1 → σ 0 = 46   M P a

Passo 4

Para a letra (c), vamos começar escrevendo as tensões que temos no elemento de tensão, onde temos:

σ x = - σ 0

σ y = σ 0 2

Vamos começar escrevendo a equação para o raio do círculo de Mohr, que é dada por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos na equação do raio para o círculo de Mohr, chegamos em:

R = ( - σ 0 ) - σ 0 2 2 2 + 0 2 → R = 3 σ 0 4

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = - σ 0 + σ 0 2 2 → σ m e d = - σ 0 4

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = - σ 0 4 + 3 σ 0 4 → σ a = σ 0 2

σ b = σ m e d - R = - σ 0 4 - 3 σ 0 4 → σ b = - σ 0

Então, como temos σ a positivo e σ b negativo, isso quer dizer que o ponto está no quarto quadrante do envoltório. Isso quer dizer que o caso limite será dado pela equação que vimos no passo 1:

σ a σ L T - σ b σ L C

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ 0 2 55,2 - - σ 0 137,9 = 1 → σ 0 1 110,4 + 1 137,9 = 1 → σ 0 = 61,3   M P a

Opa! Terminamos de encontrar todos os σ 0 , acabamos por aqui!

Resposta

a :   σ 0 = 55,2   M P a

b :   σ 0 = 46   M P a

c :   σ 0 = 61,3   M P a

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