Enunciado

O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ E = 45   k s i . Usando o critério da energia de distorção máxima, determine se ocorre o escoamento quando (a) τ x y = 9   k s i , (b) τ x y = 18   k s i e (c) τ x y = 20   k s i . Caso o escoamento não ocorra, determine o coeficiente de segurança correspondente.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar a equação da tensão normal máxima para descobrir o valor máximo a que o elemento está sujeito e daí comparar com a tensão de escoamento do material, para ver se escoa ou não, e depois calcular o coeficiente de segurança, caso não escoe. Então, sabendo que a tensão resultante é dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b

Então, precisamos dos valores das tensões nos extremos do círculo, para isso precisamos calcular a tensão média e o raio do círculo, então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = σ m e d = 36 + 21 2 → σ m e d = 28,5   k s i

Beleza, agora, para o raio do círculo de Mohr, temos a seguinte fórmula:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = 36 - 21 2 2 + τ x y 2 → R = 7,5 2 + τ x y 2

Beleza! E nós sabemos que as tensões nos pontos A e B serão dadas por:

σ a = σ m e d + R → σ a = 28,5 + R

σ b = σ m e d - R → σ b = 28,5 - R

Agora sim vamos começar os cálculos.

Passo 3

Beleza! Agora vamos partir para a letra (a), onde temos:

τ x y = 9   k s i

Nesse caso, nosso raio do círculo de Mohr será:

R = 7,5 2 + 9 2 → R = 11,71   k s i

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = 28,5 + R = 28,5 + 11,71 → σ a = 4 0,21   k s i

σ b = 28,5 - R = 28,5 - 11,71 → σ b = 16,79   k s i

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 40,21 2 + 16,79 2 - 40,21 16,79

σ R = 34,98   k s i

Como a tensão resultante é menor do que a tensão de escoamento σ E = 45   k s i , então, não terá escoamento. Sendo assim, vamos calcular o fator de segurança, dado por:

F S = σ E σ R = 45 34,98 → F S = 1,29

Shooow! Fechamos a letra (a). Agora é só repetir os cálculos para as letras (b) e (c), bora lá.

Passo 4

Beleza! Agora vamos partir para a letra (b), onde temos:

τ x y = 18   k s i

Nesse caso, nosso raio do círculo de Mohr será:

R = 7,5 2 + 18 2 → R = 19,5   k s i

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = 28,5 + R = 28,5 + 19,5 → σ a = 48   k s i

σ b = 28,5 - R = 28,5 - 19,5 → σ b = 9   k s i

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 48 2 + 9 2 - 48 9

σ R = 44,19   k s i

Como a tensão resultante é menor do que a tensão de escoamento σ E = 45   k s i , então, não terá escoamento. Sendo assim, vamos calcular o fator de segurança, dado por:

F S = σ E σ R = 45 44,19 → F S = 1,02

Opa! Terminamos mais uma, bora pra letra (c) pra fechar de uma vez!

Passo 5

Beleza! Agora vamos partir para a letra (c), onde temos:

τ x y = 20   k s i

Nesse caso, nosso raio do círculo de Mohr será:

R = 7,5 2 + 20 2 → R = 21,36   k s i

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = 28,5 + R = 28,5 + 21,36 → σ a = 49,86   k s i

σ b = 28,5 - R = 28,5 - 21,36 → σ b = 7,14   k s i

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = 49,86 2 + 7,14 2 - 4 9,86 7,14

σ R = 46,7   k s i

Como a tensão resultante é maior do que a tensão de escoamento σ E = 45   k s i , então haverá escoamento. Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   F S = 1,2 9

b :   F S = 1 , 02

c : o c o r r e   e s c o a m e n t o

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