Enunciado

Para as condições do Prob. 2/203, determine os valores de r ¨ e θ ¨ conforme medidos por um observador no carro B no instante representado. Use os resultados para r ˙ e θ ˙ citados nas respostas para aquele problema.

Prob. 2/203: O carro A está viajando na velocidade constante de 60   k m / h enquanto contorna a curva circular com 300   m de raio e no instante representado está na posição θ = 45 ° . O carro B está viajando na velocidade constante de 80   k m / h e passa pelo centro do círculo neste mesmo instante. O carro A é localizado em relação ao carro B pelas coordenadas polares r e θ com o pólo se deslocando com B . Para esse instante determine v A B e os valores de r ˙ e θ ˙ conforme medidos por um observador no carro B .

Passo 1

Pessoal, vamos lembrar que a fórmula da aceleração em coordenadas polares é:

a = r ¨ - r θ ˙ 2   e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   e θ

onde e r é o vetor unitário na direção da distância r e e θ é o vetor unitário perpendicular a e r , como se fosse tangente ao círculo.

Como v A e v B são constantes, a única aceleração é resultante da mudança da direção do movimento do carro A . Nesse caso, temos um movimento circular uniforme, cuja aceleração normal, na mesma direção de r , é dada por:

a = v A 2 r = 60 ÷ 3,6 2 300

a = 0,926   m / s 2

Isso significa que o vetor aceleração em coordenadas polares será:

a = - 0,926   e r + 0   e θ

onde adotamos o sinal negativo porque a aceleração normal aponta para dentro do círculo.

Passo 2

Agora que já conhecemos o vetor aceleração, podemos comparar com a expressão geral:

a = r ¨ - r θ ˙ 2   e r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙   e θ = - 0,926   e r + 0   e θ

Comparando em e r :

r ¨ - r θ ˙ 2 = - 0,926

Mas, pelo enunciado/resposta do problema anterior, temos r = 300   m , r ˙ = - 15,71   m / s e θ ˙ = 0,1079   r a d / s :

r ¨ - 300 0,1079 2 = - 0,926

r ¨ = 2,57   m / s 2

Comparando em e θ :

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0

300   θ ¨ + 2 - 15,71 0,1079 = 0

θ ¨ = 0,0113   r a d / s 2

Resposta

r ¨ = 2,57   m / s 2

θ ¨ = 0,0113   r a d / s 2

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