Enunciado

O homem puxa o garoto para cima do galho da árvore C ao caminhar para trás a uma velocidade escalar constante de 1,5 m/s. Determine a velocidade escalar na qual o garoto está sendo içado no instante x 4 =   4 m. Despreze o tamanho do galho. Quando x 4 = 0 , y B = 8 m, de maneira que A e B são coincidentes, ou seja, a corda tem 16 m de comprimento.

Passo 1

Primeiramente, deve-se obter uma função que relacione os deslocamentos do homem (representado por x A ) e do garoto ( representado por y B ). Têm-se que o comprimento total da corda ( l ) é dado por:

l = l A C   + y B

16 = l A C   + y B (1)

E que a distância entre os pontos A e C é obtido pela seguinte relação pitagórica:

l A C = x A 2 + 8 2 (2)

Então, a relação entre os deslocamentos é dada ao se substituir (2) em (1), de forma que:

16 = x A 2 + 8 2   + y B

y B = 16 - x A 2 + 64 (3)

Passo 2

De posse da função que rege os deslocamentos, sabe-se qua as velocidades instantâneas serão as taxas de deslocamentos nos pontos pelo tempo, de forma que:

v A = d x A d t

v B = d y B d t

Ao realizar a derivada de (3) no tempo, temos que:

v B = d y B d t =   - x A x A 2 + 64 d x A d t

v B =   - x A x A 2 + 64 v A (4)

Passo 3

Sabendo que a velocidade com que o homem caminha para trás é constante vA= 1,5 m/s e que deseja-se saber a velovidade da criança vb no instante em que xA = 4 m , deve-se fazer as subtistuições em (4), de modo que :

v B =   - 4 4 2 + 64 ( 1,5 )

Resposta

A velocidade será :

v B = - 0,671 m s = 0,671 m / s ⬆

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