Enunciado

Construa os diagramas de cortante e de momento para a viga carregada mostrada. Determine o momento fletor máximo e sua posição.

Passo 1

Para calcular a força cortante e o momento fletor na viga, fazemos um corte na coordenada x a partir de A e isolamos em diagrama de corpo livre a parte esquerda da viga. Calculamos a força e o momento resultantes causados pela distribuição de forças no trecho e assim determinamos V e M aplicando as condições de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro vamos determinar a intensidade de forças ω que atua na viga. Temos no ponto de coordenada 0 a partir de A uma intensidade de 2,4 kN/m:

ω 0 = ω 0 = 2,4

Para x = 4 m temos uma intensidade de 4,8 kN/m:

ω 4 = 2,4 + k 4 2 = 4,8

⇒ 2,4 + 16 k = 4,8 ⇒ 16 k = 2,4

⇒ k = 2,4 16 = 0,15

Tendo o valor da intensidade ω = 2,4 + 0,15 x 2 , conseguimos determinar a força de reação em A , que precisamos pois ela atua na parte esquerda da viga que isolaremos. Vamos calcular o momento total feito pela distribuição de forças no ponto B , e então obter A fazendo a soma dos momentos em torno de B ser zero. A força causada em um elemento de espessura d x é:

d R = ω d x = 2,4 + 0,15 x 2 d x

Esse elemento se situa a uma distância de 4 - x do ponto B , então o momento causado em torno do ponto B é:

d M B = 4 - x d R = 4 - x 2,4 + 0,15 x 2 d x = - 0,15 x 3 + 0,6 x 2 - 2,4 x + 9,6 d x

Vamos então integrar de 0 a 4 para encontrar o momento total em torno de B causado pela distribuição de forças:

M B = ∫ 0 4 - 0,15 x 3 + 0,6 x 2 - 2,4 x + 9,6 d x = - 0,15 4 x 4 + 0,2 x 3 - 1,2 x 2 + 9,6 x 0 4

= - 0,15 4 4 4 + 0,2 4 3 - 1,2 4 2 + 9,6 4 = 22,4   k N ⋅ m

A força de apoio em A é então obtida pela soma dos momentos em torno de B :

∑ M B = 0 ⇒ - A 4 + M B = 0 ⇒ A = M B 4

⇒ A = 22,4 4 = 5,6   k N

Passo 3

Então isolamos em diagrama de corpo livre a parte à esquerda de um corte feito a x m de A :

Passo 4

Precisamos calcular a força resultante R causada pela distribuição de forças nesse trecho para encontrar V . A força causada em um elemento de espessura d x ' de coordenada x ' é:

d R = ω d x ' = 2,4 + 0,15 ( x ' ) 2 d x '

Note que agora x é considerado uma constante, pois é o tamanho do nosso trecho. O que varia é a quantidade que chamamos de x ' , que vai de 0 a x . Então integramos:

R = ∫ 0 x 2,4 + 0,15 ( x ' ) 2 d x ' = 2,4 x ' + 0,05 ( x ' ) 3 0 x = 2,4 x + 0,05 x 3

Pelo equilíbrio das forças verticais, achamos então V :

5,6 - 2,4 x + 0,05 x 3 - V = 0

⇒ V x = - 0,05 x 3 - 2,4 x + 5,6

Passo 5

Agora para encontrar M precisamos do momento resultante M R causado pela distribuição de forças em torno do ponto de coordenada x . Sabemos que a força causada num elemento é:

d R = 2,4 + 0,15 ( x ' ) 2 d x '

A distância desse elemento até a coordenada x da viga é:

x - x '

Então temos:

d M R = ( x - x ' ) 2,4 + 0,15 ( x ' ) 2 d x '

Lembrando que x é uma constante! Integramos então de 0 a x :

M R = ∫ 0 x x - x ' 2,4 + 0,15 ( x ' ) 2 d x '

= ∫ 0 x - 0,15 x ' 3 + 0,15 x x ' 2 - 2,4 x ' + 2,4 x d x

= - 0,15 x ' 4 4 + 0,05 x x ' 3 - 1,2 x ' 2 + 2,4 x x ' 0 x

= - 0,0375 x 4 + 0,05 x 4 - 1,2 x 2 + 2,4 x 2

= 0,0125 x 4 + 1,2 x 2

Então obtemos M R fazendo ser zero o momento em torno da seção de coordenada x :

∑ M x = 0 ⇒ M R - 5,6 x + M = 0

⇒ 0,0125 x 4 + 1,2 x 2 - 5,6 x + M = 0

⇒ M x = - 0,0125 x 4 - 1,2 x 2 + 5,6 x

Passo 6

Tendo então as funções V ( x ) e M ( x ) , representamos graficamente os diagramas de cortante e de momento:

Fazendo uma análise do gráfico descobrimos o momento fletor máximo:

M M á x = M 2,13 = 6,27   k N ⋅ m

Resposta

V x = - 0,05 x 3 - 2,4 x + 5,6

M x = - 0,0125 x 4 - 1,2 x 2 + 5,6 x

M M á x = M 2,13 = 6,27   k N ⋅ m

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