Enunciado

O corpo em forma de projétil com massa m tem uma anilha com massa m / 5 colocada sobre seu diâmetro escalonado. Conforme o conjunto passa descendo por uma abetura com velocidade v , a anilha atinge a superfície firme e é deixada para trás. Se o tempo de duração do impacto é ∆ t , determine a força total R exercida sobre a anilha pela superfície e a perda percentual n de energia cinética do sistema.

Passo 1

Vamos supôr que a força R exercida sobre a anilha no intervalo Δ t é constante. Nesse caso, durante o contato as forças que agiam sobre a anilha eram:

∑ F = P - R

Onde definimos o sentido positivo como sendo vertical para baixo. Pelo teorema do impulso podemos fazer a seguinte afirmação:

∫ P - R d t = m 5 Δ v

∫ m g 5 - R d t = m 5 ( 0 - v )

m g 5 - R Δ t = - m v 5

Ou seja, a força R tem o seguinte valor:

R = m 5 v Δ t + g

Passo 2

Agora vamos analisar a perda de energia nesse processo. Inicialmente, quando o corpo e a anilha estavam se movendo juntos com velocidade v , a energia total do sistema era:

E 0 = 1 2 M v 2

E o = 1 2 m + m 5 v 2 = 3 5 m v 2

Depois, quando apenas o corpo se move com a velocidade v (já que a anilha foi parada pela força R ):

E f = 1 2 m v 2

Então a perda relativa de energia é:

Δ E = E f - E 0 E 0 = 1 2 - 3 5 3 5 ≅ 0,1666

O que equivale a uma perda percentual:

n ≅ 16,67 %

Resposta

R = m 5 v Δ t + g e n = 16,67 % .

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