Enunciado

O corpo de prova representa um sistema de matriz reforçado por filamentos feitos de plástico (matriz) e vidro (fibra). Se houver n fibras, cada uma com área de seção transversal A f e módulo E f , embutidas em uma matriz com área de seção transversal A m e módulo E m , determine a tensão na matriz e em cada fibra quando a força P for imposta ao corpo de prova.

Passo 1

Temos uma estrutura feita por dois materiais. O principal (matriz) é plástico, e pra reforçar tem umas fibras de vidro. Não tem valores nessa questão, então vamos definir as variáveis.

Características da matriz:

  • Área transversal: A m
  • Módulo de elasticidade: E m
  • Características das fibras:

  • Área transversal: A f
  • Módulo de elasticidade: E f
  • Quantidade de fibras: n

Um forçamento P é imposto na estrutura (em tudo!), comprimindo.

Até aqui, todas essas letras são pra ser consideradas conhecidas!

O que queremos é a tensão na matriz e em cada fibra. A fórmula pra tensão é

σ = F A

Sabemos as áreas, então pra achar as tensões só nos falta as forças internas.

Vamos chamar de F m a força na matriz e F p a força em uma fibra. São esses dois que queremos achar primeiro!

Passo 2

Só tem uma direção no problema, então já sabe que é tranquilo! As forças internas vão resistir o forçamento P .

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → F m + n   F f = P

Atenção que temos uma força F f para cada fibra, por isso aquele n ali. A matriz reage como um todo, por isso uma força só pra ela.

Duas incógnitas ( F m e F f ) e uma equação. Precisamos de mais uma equação!

Passo 3

Se a matriz (como um todo) diminuir um comprimento δ m , então o comprimento δ f que cada fibra diminui tem que ser igual. A condição de compatibilidade é:

δ m =   δ f

Use a fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F m   L A m   E m = F f   L A f   E f

O comprimento inicial da matriz e das fibras é o mesmo, então o L ali é o mesmo dos dois lados.

Isole uma das forças para achar:

F m = A m   E m A f   E f F f

Passo 4

Vamos determinar cada força baseado nas variáveis que conhecemos.

Substitua na equação do balanço de forças o F m encontrado:

A m   E m A f   E f F f + n   F f = P → A m   E m + n   A f   E f A f   E f F f = P

F f = A f   E f A m   E m + n   A f   E f P

Agora substitua F f na relação entre as forças para achar F m

F m = A m   E m A m   E m + n   A f   E f P

Passo 5

Divida pelas áreas para achar as tensões.

σ f =   E f A m   E m + n   A f   E f P             e             σ m = E m A m   E m + n   A f   E f P

Resposta

Tensão em uma fibra:

σ f =   E f A m   E m + n   A f   E f P

Tensão na matriz:

σ m = E m A m   E m + n   A f   E f P

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