Enunciado

Deduza a terceira lei do movimento planetário de Kepler das Eqs. (12.39) e (12.45).

Passo 1

O enunciado nos pede para que a gente deduza a terceira lei do movimento planetário de Kepler das Eqs. (12.39) e (12.45), essas equações estão descritas no livro , mas traremos elas para cá :D

Para um eclipse,

2 a = r A + r B             e                 b = r A r B    

Usando Eq.(12.39),

1 r A = G M h 2 + C   c o s θ A

e

1 r B     = G M h 2 + C   c o s θ B

Mas

θ B = θ A + 180 °

de modo

c o s θ A =   - c o s θ B

Adicionando,

1 r A + 1 r B = r A + r B r A r B = 2 a b 2 = 2 G M h 2

h = b G M a

Passo 2

Pela Eq. (12.45),

τ = 2 π a b h = 2 π a b a b G M = 2 π a 3 / 2 G M

τ 2 = 4 π ² a ³ G M

Para orbitas 1 e 2 sobre a mesma grande massa,

τ 1 2 = 4 π ² a 1 3 G M

e

τ 2 2 = 4 π ² a 2 3 G M

Formando a razão,

τ 1 τ 2 2 = a 1 a 2 2

Resposta

τ 1 τ 2 2 = a 1 a 2 2

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