Enunciado

Derive expressões para o cortante V e o momento M em termos de x para a viga em balanço de Prob. 5/114 mostrado novamente aqui. O carregamento é parabólico.

Passo 1

A seguir, como a extremidade B está livre (a da extremidade direita), cortaremos o ponto na distância 1/2 - x do ponto B e analisaremos a porção da viga à direita.

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, derivaremos a expressão da força de cisalhamento na viga.

∑ F y = 0

V - R x = 0

V = R x                     ( 1 )

Ao igualar a soma dos momentos a zero, derivaremos a expressão para o momento fletor na viga

∑ M = 0

M + V ∙ l / 2 - x - R x ∙ l / 2 - x - = 0

M = R x ∙ l / 2 - x - - V ∙ l / 2 - x

Passo 2

Observe que, como R(x) = V expressão (1), podemos escrever a expressão acima como:

M = R x x - x -                     2

Observe que tanto M quanto V são expressos como função de R(x), então teremos que determinar a intensidade da resultante. Para fazer isso, precisaremos escrever a função da parábola.

Função parabólica:

y = p x 2 + q

Vamos colocar as coordenadas do ponto M na equação

w 0 = p ∙ 0 + q                 ⇒                 q = w 0

Passo 3

Agora vamos colocar as coordenadas do ponto B na equação

0 = p ∙ l 2 + q

Substitua q por w0

0 = p ∙ l 2 4 + w 0                 ⇒                 p = - 4 w 0 l 2

Uma vez que determinamos os coeficientes p e q, podemos escrever a função parabólica

y = - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0

Passo 4

Determinaremos o R resultante integrando a função parabólica no intervalo: x ≤ x ≤ l / 2

R x = ∫ x l / 2 - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0   d x

R x = - 4 w 0 l 2 ∙ x 3 3 + w 0   d x x l / 2

Substitua x por l/2 e x

R x - 4 w 0 l 2 ∙ l 2 3 3 + w 0 ∙ l 2 - - 4 w 0 l 2 ∙ x 3 3 + w 0 x

R x - w 0 l 6 + w 0 ∙ l 2 - - 4 w 0 l 2 ∙ x 3 3 + w 0 x

R x = w 0 l 3 + 4 w 0 l 2 ∙ x 3 3 - w 0 x

R x = w 0 l 3 - x + 4 x 3 3 l 2                     ( 3 )

Passo 5

E a posição da resultante é:

x - = 1 R x ∫ x l / 2 x ∙ - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0   d x

x - = 1 R x ∫ x l / 2 - 4 w 0 l 2 x 3 + w 0 x   d x

x - = 1 R x - 4 w 0 l 2 ∙ x 4 4 + w 0 ∙ x 2 2 x l / 2

Substitua x por l/2, x

x - = 1 R x - 4 w 0 l 2 ∙ l 2 4 4 + w 0 ∙ l 2 2 2 - - 4 w 0 l 2 ∙ x 4 4 + w 0 ∙ x 2 2

x - = 1 R x - w 0 l 2 16 + w 0 l 2 8 - - w 0 l 2 ∙ x 4 + w 0 ∙ x 2 2

x - = 1 R x w 0 l 2 16 + w 0 x 4 l 2 - w 0 x 2 2                     ( 4 )

Passo 6

Observe que a resultante é igual à área sob a função ol parábola, então vamos dividir a área em áreas infinitesimais d x × d y no intervalo - l 2 ≤ x ≤ l 2 , 0 ≤ y ≤ - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0

A área total da figura sombreada, ou seja, a resultante da carga distribuída é:

R x = ∫ x l 2 ∫ 0 - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0 d x d y

Como a área é simétrica em relação ao eixo y, podemos escrever a expressão acima como

R x = 2 ∫ x l 2 ∫ 0 - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0 d x d y

Integre o lado direito da equação em relação ao dy

R x = 2 ∫ x l 2 y 0 - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0 d x

Passo 7

Em seguida, substituiremos y por - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0

R x = 2 ∫ 0 l 2 - 4 w 0 l 2 x 2 + w 0   d x

Agora vamos integrar o lado direito da equação em relação a dx

R x = 2 - 4 w 0 l 2 ∙ x 3 3 + w 0 0 l 2

Substitua x por l 2

R x = 2 - 4 w 0 l 2 ∙ l 2 3 3 + w 0 ∙ l 2

R x = 2 - w 0 l 6 + w 0 ∙ l 2

Finalmente, concluímos que a área total é:

R x = 2 3 w 0 l

Passo 8

Para determinar a expressão do momento fletor na viga, substituiremos R(x) e x - pelas expressões (3) e (4) na expressão (2)

M = R x x - 1 R x w 0 l 2 16 + w 0 x 4 l 2 - w 0 x 2 2

M = x ∙ R x - w 0 l 2 16 + w 0 x 4 l 2 - w 0 x 2 2

Substitua R(x) pela expressão (1)

M = x ∙ w 0 1 3 - x + 4 x 3 3 l 2 - w 0 l 2 16 + x 4 l 2 - x 2 2

M = w 0 - l 2 16 + l x 3 + x 2 2 - x 2 + 4 x 4 3 l 2 - x 4 l 2

A expressão final para o momento fletor é:

M = w 0 - l 2 16 + l 3 x - 1 2 x 2 - 1 3 l 2 x 4

Resposta

V = w 0 l 3 - x + 4 x 3 3 l 2

M = w 0 - l 2 16 + l 3 x - 1 2 x 2 - 1 3 l 2 x 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Localize o centroide y - da área da seção transversal do canal.
Localize o centroide da área da seção transversal do canal.
Localize o centroide do fio. Se o fio for suspenso por A , determine o ângulo que o segmento A B faz com a vertical quando o fio está em equilíbrio.
Localize o centroide da área composta.
Localize o centroide do fio que está dobrado na forma mostrada.