Enunciado

96. O “boneco” segmentado do Prob. 6 / 107 é reapresentado aqui. Assume-se que articulação do quadril O permanece fica em relação ao carro, e o tronco acima do quadril é considerado como um corpo rígido de massa m . O centro de massa do tronco está em G e o raio de giração do tronco em relação a O é k 0 . Assuma que a resposta muscular atua como uma mola de torção interna que exerce um momento M = K θ sobre a parte superior do tronco, onde K é a constante de mola tradicional e θ é o deslocamento angular a partir da posição vertical inicial. Se o carro é forçado a uma parada súbita com um a desaceleração constante a , desenvolva a equação diferencial para o movimento do tronco antes do seu impacto com o painel.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama de corpo livre do boneco:

Passo 2

Agora que temos o esquema de forças no boneco, bora fazer a somatória de momentos. (Vamos utilizar a barra embaixo para indicar que é um vetor quando em cima já tiver uma notação, como por exemplo, a derivação em relação ao tempo):

∑ M 0 = H 0 ˙ + ξ → × m r 0 ¨ _

∑ M 0 = m g ⋅ r → ⋅ s e n θ - K θ   k

Sabemos que H 0 ˙ = I 0 θ ¨   k = m k 0 2 θ ¨   k

E podemos observar que ξ → = r → - s e n θ   i + cos ⁡ θ   j e   r 0 ¨ = a   i

Se fizermos o produto vetorial ξ → × m r 0 ¨ _ ( r → - s e n θ   i + cos ⁡ θ   j × a   i ) , vamos encontrar:

ξ → × m r 0 ¨ _ = - m a r → cos ⁡ θ k

Substituindo todas as equações, temos:

m g ⋅ r → ⋅ s e n θ - K θ   k = H 0 ˙ + ξ → × m r 0 ¨ _

m g ⋅ r → ⋅ s e n θ - K θ = m k 0 2 θ ¨ - m a r → cos ⁡ θ

Resposta

A equação para o movimento do tronco será:

m k 0 2 θ ¨ + K θ - m ⋅ r → ( g ⋅ s e n θ + a ⋅ cos ⁡ θ )

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