Enunciado

Desenvolva uma expressão para a projeção F D C da força F → sobre a linha direcionada de D a C .

Passo 1

Para achar a nossa projeção vemos precisar escrever alguns vetores unitários: um na direção A B e outro na direção D C .

Para isso também vamos precisar definir um sistema de coordenadas:

E então as coordenadas dos pontos são as seguintes:

B = b a c

A = 0 0 0

A B → = b a c = b   i ^ + a   j ^ + c   k ^

C = b 0 c

D = 0 a c

D C → = b - a 0 = b   i ^ - a   j ^

Agora vamos escrever os vetores unitários nas direções de A B → e D C → :

A B ^ = b   i ^ + a   j ^ + c   k ^ b 2 + a 2 + c 2

D C ^ = b   i ^ - a   j ^ b 2 + a 2

Passo 2

Vamos usar o vetor unitário A B ^ para encontrar a forma vetorial da força F → :

F → = F   A B ^ = ( F ) b   i ^ + a   j ^ + c   k ^ b 2 + a 2 + c 2

E o vetor unitário na direção D C é:

D C ^ = b   i ^ - a   j ^ b 2 + a 2

E agora para encontrar a projeção F D C é só fazer o produto escalar desses dois vetores:

F D C = F → ∙ D C ^ = F b   i ^ + a   j ^ + c   k ^ b 2 + a 2 + c 2     ∙     b   i ^ - a   j ^ b 2 + a 2

E lembre-se de que, no produto escalar, nós somamos os produtos de cada componente:

F D C = 1 b 2 + a 2 + c 2 b 2 + a 2 F b b + a - a + c 0

F D C = F ( b 2 - a 2 ) b 2 + a 2 + c 2 b 2 + a 2

E essa é a expressão para a projeção F D C .

Resposta

A projeção é dada por F D C = F ( b 2 - a 2 ) b 2 + a 2 + c 2 b 2 + a 2 .

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