Enunciado

Três forças atuam sobre o olhal. Se a força resultante F R tiver intensidade e direção como mostrado na figura, determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força F 3 .

Passo 1

Nesses exercícios de somatório de forças e força resultante é sempre bom começar decompondo nas suas componentes. Então bora decompor nossa F R , de início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 45 ° com o plano x y :

F R z = F R sin ⁡ 45 °

F R z = 120 sin ⁡ 45 °

F R z = 84,8   N

Já, a sua projeção no plano x y é dada por:

F R x y = F R cos ⁡ 45 °

F R x y = 120 cos ⁡ 45 °

F R x y = 84,8   N

E então decompomos em x e y :

Temos em x :

F R x = F R x y sin ⁡ 30 °

F R x = 84,8   sin ⁡ 30 °

F R x = 42,4   N

E temos em y :

F y = F R x y cos ⁡ 30 °

F R y = 84,8   cos ⁡ 30 °

F R y = 73,4   N

E o vetor cartesiano de F R fica:

F R = 42,4 i + 73,4 j + 84,8 k   N

Passo 2

Consegue ver que nossa F 1 está no plano x z ? Vamos decompor nas suas componentes através da relação entre catetos e hipotenusa no triângulo dado:

Para x :

F 1 x = F 1 4 5

F 1 x = 80   4 5

F 1 x = 64   N

Para y :

F 1 z = F 1 3 5

F 1 z = 80   3 5

F 1 z = 48   N

Logo, o vetor cartesiano de F 1 é:

F 1 = 64 i + 48 k   N

Passo 3

Aqui vamos olhar rapidinho para a F 2 , ela se encontra no eixo z e tem sentido para baixo, logo o vetor cartesiano F 2 será:

F 2 = { - 110 k }

Passo 4

Vamos agora igualar o somatório das forças à nossa força resultante:

F R = F 1 + F 2 + F 3

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k + F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

42,4 i + 73,4 j + 84,8 k = 64 i + 48 k + - 110 k + F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k = { - 21,6 i + 73,4 j + 14 6,8 k }

F 3 x = - 21,6   N

F 3 y = 73,4   N

F 3 z = 14 6,8   N

E a intensidade do seu módulo será:

F 3   = F 3 x 2 + F 3 y 2 + F 3 z 2

F 3   = - 21,6 2 + 73,4 2 + 14 6,8 2

F 3   =   16 6   N

Passo 5

Falta apenas encontrar os ângulos de direção coordenados pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ - 21,6 16 6 ∴ α = 97 , 5 °

β = cos - 1 ⁡ 73,4 16 6 ∴ β = 63 , 7 °

γ = cos - 1 ⁡ 14 6,8 16 6 ∴ γ = 2 7,8 °

Resposta

F 3   =   16 6   N

α = 97 , 5 °

β = 63 , 7 °

γ = 2 7 , 8 °

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