Enunciado

Duas forças F 1 e F 2 atuam sobre o olhal. Se a força resultante F R tiver intensidade de 50   N e ângulos de direção coordenados α = 110 ° e β = 80 ° , como mostrado, determine a intensidade de F 2 e seus ângulos de direção coordenados.

Passo 1

Nesse exercício queremos encontrar a F 2 e para isso precisamos decompor a F R , já temos dois de seus ângulos, vamos encontrar o terceiro através da relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Assim:

cos 2 ⁡ 110 ° + cos 2 ⁡ 80 ° + cos 2 ⁡ γ = 1

γ = cos - 1 ⁡ ( ± 1 - cos 2 ⁡ 110 ° - cos 2 ⁡ ( 80 ° )   )

γ = 166 °

Consideramos negativo o valor de dentro do arco seno já que nossa força tem o sentido negativo no eixo z e seu ângulo será obtuso.

Passo 2

Simbora encontrar as componentes de F R nos eixos:

Para x :

F R x = F R   c o s ⁡ ( α )

F R x = 50   c o s ⁡ ( 110 ° )

F R x = - 17   N

Para y :

F R y = F R   c o s ⁡ ( β )

F R y = 50   c o s ⁡ ( 80 ° )

F R y = 8,7   N

Para z :

F R z = F R   c o s ⁡ ( γ )

F R z = 50   c o s ⁡ ( 166 ° )

F R z = - 48   N

Passo 3

Agora podemos encontrar a F 2 , através da força resultante e sabendo que nossa F 1 encontra-se apenas no eixo z com sentido negativo:

F R x = F 2 x

F 2 x = 50 cos ⁡ 110 °

F 2 x = - 17,1   N

F R y = F 2 y

F 2 y = 50 cos ⁡ 80 °

F 2 y = 8,68   N

F R z = F 2 z + F 1 z

F 2 z = 50 cos ⁡ 166 ° - ( - 20 )

F 2 z = - 28,5   N

Sua intensidade em módulo será:

| F 2 |   = F 2 x 2 + F 2 y 2 + F 2 z 2

| F 2 |   = - 17,1 2 + 8,68 2 + - 28,5 2

| F 2 |   = 34,4   N

Passo 4

Por último encontramos os ângulos de direção coordenados de F 2 pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Sabendo que F 2 = 50   N , então:

α F 2 = cos - 1 ⁡ - 17,1 34,4   ∴ α F 2 = 120 °

β F 2 = cos - 1 ⁡ 8,68 34,4   ∴ β F 2 = 75 °

γ F 2 = cos - 1 ⁡ - 28,5 34,4   ∴ γ F 2 = 146 °

Resposta

α F 2 = 120 °

β F 2 = 75 °

γ F 2 = 146 °

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