Enunciado

A haste uniforme de comprimento l e massa m está suspensa em seu ponto médio por um arame de comprimento L . A resistência do arame à torção é proporcional ao seu ângulo de rotação θ e é igual a ( J G / L ) θ onde J é o momento polar de inércia da seção transversal do arame e G é o módulo de elasticidade transversal. Desenvolva a expressão para o período τ de osiclação da haste, quando é colocada em roação em torno do eixo do arame.

Passo 1

Queremos montar uma equação diferencial que dependa do ângulo θ de rotação. A melhor forma de fazer isso é através de uma equação de momentos em torno do centro de massa da haste:

∑ M c m = I c m θ ¨

O único momento que age sobre o sistema já foi dado no enunciado:

∑ M c m = - J G L θ

Pode não ser óbvio que ( J G / L ) corresponde ao momento que o arame exerce sobre o corpo, então vamos dar uma olhada nas unidades de medida para garantir.

No SI, J (o momento polar de inércia) é medido em m 4 , a elasticidade G é medida em P a (ou N / m 2 ), e o comprimento L é dado em m , então:

J G L = m 4 N m 2 m = N m

Que a uma unidade do momento no SI. (Lembrando que o radiano é uma unidade adimensional, então não precisams consderar o θ na nossa análise).

Passo 2

Beleza, agora voltando à nossa equação:

- J G L θ = I c m θ ¨

O momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa pode ser consultado em uma tabela:

- J G L θ = 1 12 m l 2 θ ¨

Vamos escrever isso na forma usual da equação do oscilador harmônico:

θ ¨ + 12   J G m l 2 L θ = 0

E então sabemos que o termo que multiplica θ é o quadrado da frequência angular θ :

ω 2 = 12   J G m l 2 L

Como relacionar isso com o período?

ω = 2 π τ

Então:

τ = 2 π 12   J G m l 2 L = 2 π m l 2 L 12 J G

Resposta

O período é τ = 2 π m l 2 L 12 J G .

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