Enunciado

Uma série de flutuadores esféricos são igualmente espaçados e firmemente presos a um cabo flexível de 20 m de comprimento. As extremidades A e B estão ancoradas a 16 m de distância, no fundo de um lago de água doce, a uma profundidade de 8 m. Os flutuadores e o cabo têm um peso combinado de 100 N por metro de comprimento do cabo, e a flutuabilidade da água produz uma força ascendente de 560 N por metro de comprimento do cabo. Calcule a profundidade h abaixo da superfície até o topo da linha de flutuadores. Encontre também o ângulo θ formado pela linha de flutuadores com a horizontal em A.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo. Observe que a tensão TA machos ângulo θ com a horizontal e que substituímos os efeitos no cabo de peso e flutuabilidade por R resultante

R = μ s

Como o cabo tem uma forma de catenária de cabeça para baixo, invertemos o sistema de coordenadas de modo que a direção positiva do eixo y seja direcionada para baixo.

Neste sistema de coordenadas, o peso (w) tem efeito negativo, enquanto a flutuabilidade (wB) tem efeito positivo, então o efeito total no cabo por comprimento é:

μ = w B - w

μ = 560 - 100 = 460   N/m

Passo 2

Como o comprimento do cabo é s = 20 m, podemos calcular o R resultante

R = 460 ∙ 20

R = 9200   N

Também podemos ver pelo sketeh que a distância h é igual a:

h = 8 - H                     ( 1 )

Passo 3

Observe que o comprimento do cabo do ponto O a A é igual à parada do comprimento total.

s A = 1 2 s

s A = 1 2 ∙ 20 = 10   m

Também podemos escrever a expressão para o comprimento da parte OA como:

s A = T 0 μ sinh ⁡ μ x A T 0

Substitua sA, μ e xA por seus valores de forma que a única incógnita na equação seja T0.

10 = T 0 460 sinh ⁡ 460 ∙ 8 T 0

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), plotaremos a função T 0 460 sinh ⁡ 460 ∙ 8 T 0 e leremos o valor de T0 em f T 0 = 10 .

T 0 = 3111.46   N

Passo 4

Usando a expressão (5/19) para função do cabo, podemos determinar o afundamento H.

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua T0 e μ por seus valores e coloque as coordenadas do ponto A na equação

H = 3111.46 460 cosh ⁡ 8 ∙ 460 3111.46 - 1

H = 5.31   m

Finalmente substitua H por seu valor na expressão (1) para determinar a distância h

h = 8 - 5.31

h = 2.69   m

Passo 5

Agora, considere o diagrama de corpo livre da Etapa 1. (o diagrama também é carregado nesta etapa por conveniência)

Observe que as tensões em A e B são desconhecidas, mas podemos determiná-las usando a expressão (5/21)

T A = T 0 cosh ⁡ μ x A T 0

Substitua μ , T0 e xA por seus valores.

T A = 3111.46 cosh ⁡ 460 ∙ 8 3111.46

T A = 5553.48   N

Passo 6

Finalmente, ao igualar a soma dos momentos sobre o ponto B a zero, a única incógnita será o ângulo θ

∑ M B = 0

16 T A sin ⁡ θ - 8 R = 0

A partir daqui, podemos expressar sin θ como:

sin ⁡ θ = 8 R 16 T A = R 2 T A

Substitua R e TA por seus valores.

sin ⁡ θ = 8 R 16 T A = 9200 2 ∙ 5553.48

Finalmente, podemos expressar o ângulo θ como:

θ = arcsin ⁡ 9200 2.5553.48

θ = 55.93 °

Resposta

h = 2.69   m

θ = 55.93 °

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