Enunciado

Um cabo que pesa 50 newtons por metro de comprimento é preso no ponto A e passa sobre a polia pequena em B no mesmo nível sob uma tensão T. Determine o valor mínimo de T para suportar o cabo e a deflexão h correspondente.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo.

Observe que cortamos o cabo pouco antes de ele atingir a polia a B.

Uma vez que o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem uma forma conhecida como catenária

Como os pontos A e B estão na mesma altura, o ponto mais baixo do cabo (início do sistema de coordenadas) está no meio.

Passo 2

Para determinar o valor mínimo da tensão T, precisaremos escrever sua função e encontrar sua primeira derivada (já que a primeira derivada é igual a zero no mínimo e no máximo de uma função).

T = T 0 cosh ⁡ μ ∙ x T 0

Substitua μ por seu valor ex pela coordenada do ponto B, uma vez que a tensão T atua no ponto B.

T = T 0 cosh ⁡ 50 ∙ 50 T 0

⇒                     T = T 0 cosh ⁡ 2500 T 0                     ( 1 )

T = T 0 cosh ⁡ 2500 T 0                     ( 1 )

Observe que a tensão T é função de T0, portanto, derivaremos a expressão acima em relação a T0.

d T d T 0 = d d T 0 T 0 cosh ⁡ 2500 T 0

Passo 3

Usando uma calculadora de derivativos passo a passo como derivative-calculator.net, derivaremos a expressão acima.

d T d T 0 = cosh ⁡ 2500 T 0 - 2500 sinh ⁡ 2500 T 0 T 0                     ( 2 )

Como dissemos antes, para determinar o valor mínimo da função T(T0), precisaremos igualar a primeira derivada, ou seja, a expressão (2) a zero.

cosh ⁡ 2500 T 0 - 2500 sinh ⁡ 2500 T 0 T 0 = 0

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente a expressão (2) e ler o valor de T0 em T(T0) = 0

Observe que existem duas soluções:

T 0 = - 2083.89                     e                     T 0 = 2083.89

Uma solução indica que a função T(T0) é máxima naquele ponto e a outra que a função é mínima.

Passo 4

Existem algumas maneiras de verificar se a função está em seu máximo ou mínimo em um determinado ponto, mas a mais fácil é desenhar a função. Mais uma vez usando uma calculadora gráfica como o Desmos, podemos ver que a função T(T0) é mínima em:

T 0 = 2038.89   N

Substitua T0 por seu valor na expressão (1) para determinar a tensão mínima T necessária para manter o cabo na posição

T = 2083.89 cosh ⁡ 2500 2083.89

T 0 = 3772.20   N

Passo 5

Observe que, uma vez que o cabo torce uma forma catenária, sua função é:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua T0 e μ por seus valores e coloque as coordenadas do ponto B na equação.

h = 2083.89 30 cosh ⁡ 50 ∙ 50 2083.89 - 1

Finalmente, a curvatura h é:

h = 33.77   m

Resposta

T 0 = 3772.20   N

h = 33.77   m

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