Enunciado

O cabo de massa desprezível é suspenso nos dois pontos fixos mostrados, e a tensão no suporte inferior é suficiente para manter a inclinação zero do cabo naquele ponto. O cabo suporta uma carga unitária w que diminui de 100 lb/pés em x = 0 a 40 lb/pés em x = 30 pés com a diminuição proporcional a x2. Determine a equação da curva assumida pelo cabo.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é determinar os coeficientes da função de carregamento

Função de carga:

w = w 0 + k x 2

Podemos notar que existem dois coeficientes desconhecidos, então precisaremos escrever duas equações para determiná-los

Em x = 0, a intensidade é w = 500, então colocaremos esses valores na função

500 = w 0 + k ∙ 0 2                 ⇒                 w 0 = 500

Em x = 6, a intensidade é w = 900, então colocaremos esses valores na função

900 = w 0 + k ∙ 6 2

Substitua w0 por 500

900 = 500 + k ∙ 6 2                 ⇒                 k = 900 - 500 6 2 = 11.111

Passo 2

Como determinamos os coeficientes w0 e k, podemos escrever a função de carregamento como:

w = 500 + 11.111 x 2

Vamos determinar o R resultante integrando a função parabólica ao longo do intervalo: 0 ≤ x ≤ 30

R = ∫ 0 30 100 - 1 15 x 2   d x

R = 100 x - 1 15 x 3 3 0 30

Substitua x por 30

R = 100 ∙ 30 - 1 15 30 3 3

R = 2   400   lb

E a distância do eixo y é

x - = 1 R ∫ 0 30 x 100 - 1 15 x 2     d x

x - = 1 2400 ∫ 0 30 x 100 - 1 15 x 3     d x

x - = 1 2400 100 x 2 2 - 1 15 x 4 4 0 30

Substitua x por 30

x - = 1 2400 100 ∙ 30 2 2 - 1 15 ∙ 30 4 4

x - = 13.125   ft

Passo 3

Equacionando a soma dos momentos sobre o ponto B a zero, eliminaremos a tensão no ponto B, de modo que o único desconhecido será T0

∑ M B = 0

Agora que calculamos a tensão T0, usando a expressão (5/13) podemos escrever a função do cabo parabólico como:

d 2 y d x 2 = w T 0

Substitua w pela expressão escrita na Etapa 1 e T0 por seu valor.

d 2 y d x 2 = 100 - 1 15 x 2 4050

Integre ambos os lados da equação

d y d x = ∫ 100 - 1 15 x 2 4050     d x

Coloque as constantes na frente do sinal integral

d y d x = 1 4050 ∫ 100 - 1 15 x 2   d x

Integre o lado direito da equação em relação a dx

d y d x = 1 4050 100 x - 1 15 ∙ x 3 3 + C 1 ;                     d y d x = x = 0 ⇒ C 1 = 0

Passo 4

Observe que, como a inclinação d y d x = 0 em x   =   0 , podemos concluir que o coeficiente C1 é igual a zero

Integre novamente os dois lados da equação

y = 1 4050 ∫ 100 x - x 3 45 d x

Integre o lado direito da equação em relação a dx

y = 1 4050 100 ∙ x 2 2 - 1 45 ∙ x 4 4 + C 2 ;                     y = x = 0 ⇒ C 2 = 0

Novamente observe que em y = 0 a coordenada y = 0, então podemos concluir que o coeficiente C2 é igual a zero, então a expressão final para a função de cabo parabólico é:

y = 1 4050 50 x 2 - 1 180 x 4

Resposta

y = 1 4050 50 x 2 - 1 180 x 4

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