Enunciado

Repita Prob. 5/159, mas não use a aproximação de um cabo parabólico. Compare seus resultados com as respostas impressas para Prob. 5/159.

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo.

Podemos ver que as coordenadas dos pontos A e B são:

A - x A ; 9

B x B ; 21

Também podemos ver que a distância horizontal entre A e B é:

x A + x B = 100                     ( 1 )

E o peso do cabo por unidade de comprimento é:

w = 25   N/m

Observe que os pontos A e C estão na mesma altura, portanto as distâncias horizontais xA e xc são iguais.

x A = x C

Sabendo disso, podemos escrever a distância horizontal entre os pontos A e C como:

X A C = 2 x A                     ( 2 )

Passo 2

Como o cabo é catenária, sua função é:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua μ por seu valor para obter:

y = T 0 25 cosh ⁡ μ x T 0 - 1                     ( 3 )

Podemos determinar a componente vertical da tensão no cabo (T0) colocando as coordenadas dos pontos A e B na expressão (3).

Ponto A:

9 = T 0 25 cosh ⁡ 25 x A T 0 - 1                     ( A )

Ponto B:

21 = T 0 25 cosh ⁡ 25 x B T 0 - 1                     ( A )

Some as equações (A) e (B) para obter:

9 + 21 = T 0 25 cosh ⁡ 25 x A T 0 - 1 + cosh ⁡ 25 x B T 0 - 1

Passo 3

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente as funções (A.1) e (B.1) e ler o valor de T0 a partir do ponto de intersecção

T 0 = 2238.5   N

Colocando o valor de T0 na expressão (A), podemos determinar xA.

9 = 2238.5 25 cosh ⁡ 25 x A 2238.5 - 1                     / ∙ 25 2238.5

Multiplique os dois lados da equação por 25 2238.5

9 ∙ 25 2238.5 = cosh ⁡ 25 x A 2238.5 - 1

cosh ⁡ 25 x A 2238.5 = 9 ∙ 25 2238.5 + 1 = 1.1005

25 x A 2238.5 = cosh - 1 1.1005 = 0.4446

A partir daqui, podemos expressar xA como:

x A = 2238.5 25 ∙ 0.4446 = 39.815   m

Finalmente, substitua xA por seu valor na equação (2)

X A C = 2 ∙ 39.815   m

X A C = 79.63   m

Passo 4

Usando a expressão (5-22), podemos calcular a tensão no ponto B.

T B = T 0 + μ y

T B = 2238.5 + 25 ∙ 21 = 2763.5   N

Finalmente, iremos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre do cilindro.

Observe que a tensão no cabo preso ao cilindro é igual à tensão no cabo no ponto B por causa da polia.

Equacionando a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a massa m

∑ F y = 0

2763.50 - m g = 0

m = 2763.50 g

m = 763.50 9.81

m = 281.70   kg

Passo 5

Em comparação com os resultados aproximados do problema anterior, podemos concluir que tanto m quanto a distância X|AC| são maiores.

m = 281.70   kg > m a p p = 269.89   kg

X A C = 79.63   m > X A C a p p = 79.13   m

Resposta

X A C = 79.63   m

m = 281.70   kg

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Determine por integração direta o centroide da área a seguir. Determine sua resposta em termos de a e h .
Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e b :
Determine por integração direta o centroide da área mostrada na figura.
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