Enunciado

Ao lançar a âncora em 100 pés de água, um pequeno barco a motor inverte sua hélice, o que dá um empuxo reverso P = 800 lb. Um total de 400 pés de corrente da âncora à proa foi liberado. A corrente pesa 1,63 lb/pés e a força para cima devido à flutuabilidade da água é de 0,21 lb/pés. Calcule o comprimento l da corrente em contato com o fundo.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do barco, com a tensão da corrente TA, impulso P e a força de flutuabilidade FB atuando nele

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos determinar a força T0

∑ F x = 0

T 0 = 800   lb

Podemos ver no esboço que as coordenadas do ponto A são

A x A ; 100

Também podemos ver que todo o comprimento da corrente é

s = l + s A

Passo 2

Onde sA é o comprimento da parte OA da cadeia e s = 400. Sabendo disso, podemos escrever a expressão para o comprimento l como

l = s - s A

l = 400 - s A                     ( 1 )

Vamos escrever a expressão (19/05)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Observe que o peso total por metro é igual ao peso da corrente menos o efeito de flutuabilidade

μ = 1.63 - 0.21 = 1.42   lb/ft

Passo 3

Substitua μ e T0 por seus valores na expressão (5/19)

y = 800 1.42 cosh ⁡ 1.42 800 - 1

Em seguida, coloque as coordenadas do ponto A na equação

100 = 800 1.42 cosh ⁡ 1.42 x A 800 - 1

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), representaremos as funções (y = 100) e y = 800 1.42 cosh ⁡ 1.42 x A 800 - 1 e leremos os valores de xA que satisfazem ambas as equações do ponto de intersecção

x A = 330.90   ft

Passo 4

A seguir, usando a expressão (5/20), determinaremos a parte O A da cadeia

s A = T 0 μ sinh ⁡ μ x A T 0

Substitua T0, μ e xA por seus valores

s A = 800 1.42 sinh ⁡ 1.42 ∙ 330.90 800

s A = 350.26   lb

Finalmente, vamos substituir sA por seu valor na expressão (1) para determinar o comprimento l

l = 400 - 350.26

l = 49.74   ft

Resposta

l = 49.74   ft

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